Xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đồ thị hàm số

Chuyên đề: Hàm số bậc nhất và bậc hai

Xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đồ thị hàm số

1. Phương pháp giải.

+ Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau:

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0). Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b từ đó suy ra hàm số cần tìm.

+ Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 và d2: y = a2x + b2. Khi đó:

a) d1 và d2 trùng nhauToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b) d1 và d2 song song nhauToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

c) d1 và d2 cắt nhau ⇔ a1 ≠ a2. Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

d) d1 và d2 vuông góc nhau ⇔ a1.a2 = -1

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d. Tìm hàm số đó biết:

a) d đi qua A(1; 3), B(2; -1).

b) d đi qua C(3; -2) và song song với Δ: 3x - 2y + 1 = 0.

c) d đi qua M (1; 2) và cắt hai tia Ox, Oy tại P, Q sao cho SΔOPQ nhỏ nhất.

d) d đi qua N (2; -1) và d ⊥d' với d': y = 4x + 3.

Hướng dẫn:

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0).

a) Vì A ∈ d; B ∈ d nên ta có hệ phương trình:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hàm số cần tìm là y = -4x + 7.

b) Ta có Δ:y = 3x/2 + 1/2. Vì d // Δ nênToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Mặt khác C ∈ d ⇒ -2 = 3a + b (2)

Từ (1) và (2) suy raToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hàm số cần tìm là y = 3x/2 - 13/2.

c) Đường thẳng d cắt tia Ox tại P((-b)/a; 0) và cắt tia Oy tại Q(0; b) với b > 0; a < 0.

(Do cắt tia Ox, Oy nên hoành độ và tung độ giao điểm đều dương).

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Ta có M ∈ d ⇒ 2 = a + b ⇒ b = 2 - a, thay vào (3) ta được:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta có:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

⇒ SOPQ ≥ 2 + 2 = 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hàm số cần tìm là y = -2x + 4.

d) Đường thẳng d đi qua N(2; -1) nên -1 = 2a + b

Và d ⊥ d' ⇒ 4.a = -1 ⇒ a = (-1)/4

⇒ b = -1 - 2a = (-1)/2

Vậy hàm số cần tìm là y = (-1)x/4 - 1/2.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d: y = x + 2m; d': y = 3x + 2 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d’ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

b) Tìm m để ba đường thẳng d, d’ và d’’: y = -mx + 2 phân biệt đồng quy.

Hướng dẫn:

a) Ta có ad = 1 ≠ ad' = 3 suy ra hai đường thẳng d, d’ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d’ là nghiệm của hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

suy ra d,d’ cắt nhau tại M(m - 1; 3m - 1)

b) Vì ba đường thẳng d, d’, d’’ đồng quy nên M ∈ d" ta có:

3m - 1 = -m(m - 1) + 2 ⇔ m2 + 2m - 3 = 0Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với m = 1 ta có ba đường thẳng là d: y = x + 2, d': y = 3x + 2; d'': y = -x + 2 phân biệt đồng quy tại M(0; 2).

Với m = -3 ta có d' ≡ d'' suy ra m = -3 không thỏa mãn

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: y = (m - 1)x + m và d': y = (m2 - 1)x + 6

a) Tìm m để hai đường thẳng d, d’ song song với nhau

b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại A, d’ cắt trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân tại O.

Hướng dẫn:

a) Với m = 1 ta có d: y = 1, d': y = 6 do đó hai đường thẳng này song song với nhau

Với m = -1 ta có d: y = -2x - 1, d': y = 6 suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại M((-7)/2; 6).

Với m ≠ ±1 khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Đối chiếu với điều kiện m ≠ ±1 suy ra m = 0.

Vậy m = 0 và m = 1 là giá trị cần tìm.

b) Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Rõ ràng m = ±1 hệ phương trình (*) vô nghiệm

Với m ≠ ±1 ta có (*)

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Do đó tam giác OAB cân tại O ⇔ OA=OB

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2004 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán lớp 10 - Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Vật Lý 10 - Thầy Quách Duy Trường

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 - Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Ngữ Văn lớp 10 - thầy Nguyễn Thanh Bình

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 - cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

ham-so-bac-nhat-va-bac-hai.jsp