Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số (cực hay)

Bài viết Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số.

Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số (cực hay)

1. Phương pháp giải.

C1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x₁; x₂ ∈ K;x₁ < x₂, đặt T = f(x₁ )-f(x₂ )

    + Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.

    + Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.

C2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x₁; x₂ ∈ K;x₁ ≠ x₂, đặt

    + Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.

    + Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng (1; + ∞)

a) y = 3/(x-1)

b) y = x + 1/x

Hướng dẫn:

a) Với mọi x₁; x₂ ∈ (1; + ∞); x₁ ≠ x₂ ta có:

Vì x₁ > 1; x₂ > 1 nên

Do đó hàm số y = 3/(x-1) nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).

b) Với mọi x₁; x₂ ∈ (1; + ∞); x₁ ≠ x₂ ta có:

Vì x₁ > 1; x₂ > 1

nên hàm số y = x + 1/x đồng biến trên khoảng (1; + ∞).

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x² - 4

a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên (- ∞;0) và trên (0;+ ∞)

b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1;3] từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên[-1;3].

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R.

a) ∀ x₁; x₂ ∈ R; x₁ < x₂ ⇒ x₂ - x₁ > 0

Ta có T = f(x₂ ) - f(x₁ )=(x₂² - 4) - (x₁² - 4) = (x₂ - x₁ )(x₂ + x₁ )

Nếu x₁; x₂ ∈ (- ∞;0) thì T < 0. Vậy hàm số y=f(x) nghịch biến trên (- ∞;0).

Nếu x₁; x₂ ∈ (0; + ∞) thì T > 0. Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; + ∞).

b) Bảng biến thiên của hàm số y = f(x) = x² - 4 trên [-1; 3]

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1; 3] là 5, đạt được khi x = 3.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1; 3] là – 4, đạt được khi x = 0.

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm sốtrên tập xác định của nó.

Áp dụng tìm số nghiệm của các phương trình sau:

Hướng dẫn:

ĐKXĐ:

Suy ra TXĐ: D = [1; + ∞)

Với mọi x₁; x₂ ∈ [1; + ∞), x₁ ≠ x₂, ta có:

Nên hàm sốđồng biến trên khoảng [1; + ∞).

a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên [1; + ∞) nên

Nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) hay

Suy ra phương trìnhkhông có nghiệm x > 1.

Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b)

ĐKXĐ: x ≥ 1

Đặt x² + 1 = t, t ≥ 1 ⇒ x² = t - 1

Do x ≥ 1 nên x = √(t-1). Khi đó phương trình trở thành:

⇔ f(x)=f(t)

Nếu x > t ⇒ f(x) > f(t) hay

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x > t.

Nếu x < t ⇒ f(x)< f(t) hay

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x < t.

Vậy f(x) = f(t) ⇔ x = t hay x² + 1 = x ⇔ x² - x + 1 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Nhận xét:

Hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên toàn bộ tập xác định thì phương trình f(x)=0 có tối đa một nghiệm.

Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì f(x) > f(y) ⇔ x > y (x < y) và f(x) = f(y) ⇔ x = y ∀ x,y ∈ D. Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = 2x⁴ + 1 trên khoảng (0;+∞).

Hướng dẫn giải

Với mọi x₁;x₂ ∈ (0;+∞) và x₁ < x₂ ta có:

f(x₁) - f(x₂) = 2x₁⁴ + 1 - (2x₂⁴ + 1)

= 2(x₁⁴ - x₂⁴)

= 2(x₁² + x₂²)(x₁² - x₂²)

= 2(x₁² + x₂²)(x₁ + x₂)(x₁ - x₂) < 0

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Bài 2. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\frac{2-x}{1+x}$ trên khoảng (-1;+∞).

Hướng dẫn giải

 Với mọi x₁;x₂ ∈ (-1;+∞) và x₁ < x₂ ta có:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{2-x_1}{1+x_1}-\frac{2-x_2}{1+x_2}$

$=\frac{(2-x_1)(1+x_2)}{(1+x_1)(1+x_2)}-\frac{(2-x_2)(1+x_1)}{(1+x_1)(1+x_2)}$

$=\frac{(2-x_1)(1+x_2)-(2-x_2)(1+x_1)}{(1+x_1)(1+x_2)}$

$=\frac{2-x_1+2x_2-x_1{x}_2-(2-x_2+2x_1-x_1{x}_2)}{(1+x_1)(1+x_2)}$

$=\frac{3x_2-3x_1}{(1+x_1)(1+x_2)}>0$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;+∞).

Bài 3. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\sqrt{x^2-2x+2}$trên khoảng (1;+∞).

Hướng dẫn giải

Ta thấy:

x² - 2x + 2 = (x - 1)² + 1 > 0$\forall x\in \mathrm{ℝ}$ nên hàm số xác định với mọi x ∈ (1;+∞).

Với mọi x₁;x₂ ∈ $\mathrm{ℝ}$ và x₁ < x₂ ta có:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

Bài 4.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2+\sqrt{3}x+2$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{-b}{2a}=-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-\Delta }{4a}=\frac{5}{4}$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-\frac{\sqrt{3}}{2})$ và đồng biến trên khoảng $(-\frac{\sqrt{3}}{2};+\infty )$.

Bài 5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^2+\frac{3}{5}x+3$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{-b}{2a}=\frac{3}{10};\frac{-\Delta }{4a}=\frac{309}{100}$.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty ;\frac{3}{10})$ và nghịch biến trên khoảng $(\frac{3}{10};+\infty )$.

Bài 6. Xét sự biến thiên của hàm số y = x³ - 3x² + 1 trên khoảng (2;+∞).

Bài 7. Xét sự biến thiên của hàm số y = x⁴ + 4x² trên khoảng (-∞;0).

Bài 8. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\frac{3-2x}{x+7}$ trên khoảng (-7;+∞).

Bài 9. Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y=-2x^2+\sqrt{7}x+3$.

Bài 10. Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y=-x^2+\frac{2}{3}x+\frac{3}{5}$

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---