Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

Chuyên đề: Hàm số bậc nhất và bậc hai

Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

1. Phương pháp giải.

C1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 < x2, đặt T = f(x1 )-f(x2 )

    + Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.

    + Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.

C2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 ≠ x2, đặt Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

    + Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.

    + Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng (1; + ∞)

a) y = 3/(x-1)

b) y = x + 1/x

Hướng dẫn:

a) Với mọi x1; x2 ∈ (1; + ∞); x1 ≠ x2 ta có:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vì x1 > 1; x2 > 1 nên

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Do đó hàm số y = 3/(x-1) nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).

b) Với mọi x1; x2 ∈ (1; + ∞); x1 ≠ x2 ta có:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vì x1 > 1; x2 > 1

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánnên hàm số y = x + 1/x đồng biến trên khoảng (1; + ∞).

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x2 - 4

a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên (- ∞;0) và trên (0;+ ∞)

b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1;3] từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên[-1;3].

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R.

a) ∀ x1; x2 ∈ R; x1 < x2 ⇒ x2 - x1 > 0

Ta có T = f(x2 ) - f(x1 )=(x22 - 4) - (x12 - 4) = (x2 - x1 )(x2 + x1 )

Nếu x1; x2 ∈ (- ∞;0) thì T < 0. Vậy hàm số y=f(x) nghịch biến trên (- ∞;0).

Nếu x1; x2 ∈ (0; + ∞) thì T > 0. Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; + ∞).

b) Bảng biến thiên của hàm số y = f(x) = x2 - 4 trên [-1; 3]

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1; 3] là 5, đạt được khi x = 3.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1; 3] là – 4, đạt được khi x = 0.

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm sốToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ántrên tập xác định của nó.

Áp dụng tìm số nghiệm của các phương trình sau:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

ĐKXĐ:Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Suy ra TXĐ: D = [1; + ∞)

Với mọi x1; x2 ∈ [1; + ∞), x1 ≠ x2, ta có:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nên hàm sốToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánđồng biến trên khoảng [1; + ∞).

a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên [1; + ∞) nên

Nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) hayToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Suy ra phương trìnhToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánkhông có nghiệm x > 1.

Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b)Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

ĐKXĐ: x ≥ 1

Đặt x2 + 1 = t, t ≥ 1 ⇒ x2 = t - 1

Do x ≥ 1 nên x = √(t-1). Khi đó phương trình trở thành:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án⇔ f(x)=f(t)

Nếu x > t ⇒ f(x) > f(t) hay

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x > t.

Nếu x < t ⇒ f(x)< f(t) hay

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x < t.

Vậy f(x) = f(t) ⇔ x = t hay x2 + 1 = x ⇔ x2 - x + 1 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Nhận xét:

Hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên toàn bộ tập xác định thì phương trình f(x)=0 có tối đa một nghiệm.

Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì f(x) > f(y) ⇔ x > y (x < y) và f(x) = f(y) ⇔ x = y ∀ x,y ∈ D. Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị.

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 10 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 10 và Hình học 10.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

ham-so-bac-nhat-va-bac-hai.jsp