Cho elip có phương trình chính tắc x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip

HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (H.3.1).

 

a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc elip, hãy so sánh OM² với a², b².

Lời giải:

a)

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $\left(x_{A_1};0\right).$

Mà A₁ thuộc elip nên $\frac{x_{{}_{A_1}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_1}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_1}=a\\ x_{A_1}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₁ nằm bên trai điểm O trên trục Ox nên $x_{A_1}<0\Rightarrow x_{A_1}=-a$ ⇒ A₁(–a; 0).

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $\left(x_{A_2};0\right).$

Mà A₂ thuộc elip nên $\frac{x_{{}_{A_2}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_2}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_2}=a\\ x_{A_2}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_2}>0\Rightarrow x_{A_2}=a$ ⇒  A₂(a; 0).

+) Vì B₁ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₁ có dạng $\left(0;y_{B_1}\right).$

Mà B₁ thuộc elip nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{y_{{}_{B_1}}^2}{b^2}=1\Rightarrow y_{{}_{B_1}}^2=b^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{y}_{B_1}=b\\ y_{B_1}=-b\end{array}\right..$

Ta thấy B₁ nằm bên dưới điểm O trên trục Oy nên  $y_{B_1}>0\Rightarrow y_{B_1}=-b$ ⇒ B₁(0; –b).

+) Vì B₂ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₂ có dạng $\left(0;y_{B_2}\right).$

Mà B₂ thuộc elip nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{y_{{}_{B_2}}^2}{b^2}=1\Rightarrow y_{{}_{B_2}}^2=b^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{y}_{B_2}=b\\ y_{B_2}=-b\end{array}\right..$

Ta thấy B₂ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên $y_{B_2}>0\Rightarrow y_{B_2}=b$ ⇒  B₂(0; b).

b)

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có:  

$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$

nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) M(x₀; y₀) thuộc elip nên ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

OM² = $x_0^2+y_0^2=a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}$

mà $b^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+a^2.\frac{y_0^2}{b^2}$

hay $b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)$

hay $b^2<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2$ nên  b² < OM² < a².

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Luyện tập 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6 ....

• Luyện tập 2 trang 41 Chuyên đề Toán 10: (Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x² + y² = a² và số k (0 < k < 1) ....

• HĐ2 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y). Tính MF₁² – MF₂² ....

• Luyện tập 3 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$, điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu ....

• Vận dụng 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Với thông tin được đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất ....

• HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), ở đây $c=\sqrt{a^2-b^2}$ (H.3.6) ....

• Luyện tập 4 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$. Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip ....

• Vận dụng 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm ....

• Bài 3.1 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1.$. Xác định đỉnh và độ dài các trục của elip ....

• Bài 3.2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau: Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6 ....

• Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$. Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B ....

• Bài 3.4 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8) ....

• Bài 3.5 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương "dẹt" hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời ....

• Bài 3.6 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9) ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---