Cho elip có phương trình chính tắc x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip

HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (H.3.1).

a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc elip, hãy so sánh OM² với a², b².

Quảng cáo

Lời giải:

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $(x_{A_{1}}; 0) .$

Mà A₁ thuộc elip nên $\frac{x_{_{A_{1}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{1}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{1}} = a \\ x_{A_{1}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₁ nằm bên trai điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{1}} < 0 \Rightarrow x_{A_{1}} = - a$ ⇒ A₁(–a; 0).

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $(x_{A_{2}}; 0) .$

Mà A₂ thuộc elip nên $\frac{x_{_{A_{2}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{2}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{2}} = a \\ x_{A_{2}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{2}} > 0 \Rightarrow x_{A_{2}} = a$ ⇒ A₂(a; 0).

+) Vì B₁ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₁ có dạng $(0; y_{B_{1}}) .$

Mà B₁ thuộc elip nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{_{B_{1}}}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow y_{_{B_{1}}}^{2} = b^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} y_{B_{1}} = b \\ y_{B_{1}} = - b \end{array} .$

Ta thấy B₁ nằm bên dưới điểm O trên trục Oy nên $y_{B_{1}} > 0 \Rightarrow y_{B_{1}} = - b$ ⇒ B₁(0; –b).

+) Vì B₂ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₂ có dạng $(0; y_{B_{2}}) .$

Mà B₂ thuộc elip nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{_{B_{2}}}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow y_{_{B_{2}}}^{2} = b^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} y_{B_{2}} = b \\ y_{B_{2}} = - b \end{array} .$

Ta thấy B₂ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên $y_{B_{2}} > 0 \Rightarrow y_{B_{2}} = b$ ⇒ B₂(0; b).

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

Ta có:

$\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$

nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) M(x₀; y₀) thuộc elip nên ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

OM² = $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = a^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + b^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$

mà $b^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + b^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < a^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + b^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < a^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + a^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$

hay $b^{2} (\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}) < a^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + b^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < a^{2} (\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}})$