Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Nguyễn Trãi (Thanh Hóa) năm 2022-2023

Bài viết cập nhật đề thi HSG Toán 10 trường THPT Nguyễn Trãi, Thanh Hóa năm 2022-2023 giúp học sinh lớp 10 ôn tập và đạt kết quả cao trong bài thi học sinh giỏi Toán 10.

Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Nguyễn Trãi (Thanh Hóa) năm 2022-2023

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ đề thi HSG Toán 10 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?

A. $"\forall x\in ℝ:x^2>0"$

B. $"\forall x\in \mathbb{N}:x⋮3"$

C. $"\forall x\in ℝ:-x^2<0"$

D. $"\exists x\in ℝ:x>x^2"$

Câu 2. Miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ sau?

A. $2x-y\le 3$

B. $x-y\ge 3$

C. $2x-y\ge 3$

D. $2x+y\ge 3$

Câu 3.Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, AC. Có bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ có điểm đầu và cuối lấy trong các điểm đã cho?

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Câu 4.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(x-1;y+2)$ và $\overrightarrow{b}=(1;-3).$ Khi đó $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ khi và chỉ khi

A. $\left(\begin{array}{c}x=-2\\ y=-1\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{c}x=-2\\ y=1\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{c}x=2\\ y=-5\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{c}x=0\\ y=1\end{array}\right)$

Câu 5.Cho hàm số $y=\left(\begin{array}{c}{x}^2-2x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 1\\ \frac{5-2x}{x-1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<1\end{array}\right)$. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số?

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Câu 6.Hàm số $y=-3x^2+x-2$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $\left(\frac{1}{6};+\infty \right)$

B. $\left(-\infty ;-\frac{1}{6}\right)$

C. $\left(-\frac{1}{6};+\infty \right)$

D. $\left(-\infty ;\frac{1}{6}\right)$

Câu 7.Giá trị nguyên dương lớn nhất của x để hàm số $y=\sqrt{5-4x-x^2}$ xác định là

A. 1;  

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Câu 8.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(-2;4);B(-6;1)$ là

A. $3x+4y-10=0$

B. $3x-4y+22=0$

C. $3x-4y+8=0$

D. $3x-4y-22=0$

Câu 9.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có bao nhiêu cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng sau là

$\left(d_1\right):y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x-2$;         $\left(d_2\right):y=-\frac{1}{2}x+3$

$\left(d_3\right):y=\frac{1}{2}x+3$;     $\left(d_4\right):y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-2$

A. 3;

B. 2;

C. 1;

D. 0.

Câu 10.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-4x+8y-5=0$ tại tiếp điểm $A(-1;0)$ là

A. $4x+3y+4=0$

B. $3x+4y+3=0$

C. $3x-4y+3=0$

D. $-3x+y+22=0$

Câu 11.Số các tập hợp con có 3 phần tử có chứa a, b của tập hợp $C=\{a;b;c;d;e;f;g\}$ là

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Câu 12.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=y-x$ trên miền xác định bởi hệ $\left(\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right)$ là

A. $\min F=1$ khi $x=\mathrm{2,}y=3$;

B. $\min F=2$ khi $x=\mathrm{0,}y=2$;

C. $\min F=3$ khi $x=\mathrm{1,}y=4$;

D. $\min F=0$ khi $x=\mathrm{0,}y=0$.

Câu 13.Cho biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$. Giá trị biểu thức $E=\frac{\cot \alpha -3\tan \alpha }{2\cot \alpha -\tan \alpha }$ bằng bao nhiêu?

A. $-\frac{25}{3}$

B. $-\frac{11}{13}$

C. $-\frac{11}{3}$

D. $-\frac{25}{13}$

Câu 14.Cho tam giác ABC có $b+c=2a$. Trong đó R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tamg giác ABC đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $c=\frac{3rR}{b}$

B. $c=\frac{4Rr}{b}$

C. $c=\frac{6rR}{b}$

D. $c=\frac{8Rr}{b}$

Câu 15.Cho hình vuông ABCD có cạnh là a.O là giao điểm của hai đường chéo. Tính $\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}\right).$

A. $a\sqrt{3}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. $a\sqrt{2}$

Câu 16.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm $A(4;2),B(-2;1),C(0;3),M(-3;7).$ Giả sử $\overrightarrow{AM}=x.\overrightarrow{AB}+y.\overrightarrow{AC}(x,y\in ℝ)$. Khi đó x + y bằng

A. $\frac{12}{5}$

B. 5

C. $-\frac{12}{5}$

D. -5

Câu 17.Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh 3a và $\widehat{ABC}=60°$. Tính $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DA}.$

A. $-\frac{3a^2}{2}$

B. $9a^2$

C. $-\frac{9a^2}{4}$

D. $-\frac{9a^2}{2}$

Câu 18.Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{3x+5}{x-1}-4}$ là $\left(a;b\right)$ với a, b là các số thực. Tính tổng a + b

A. $a+b=-8$

B. $a+b=-10$

C. $a+b=8$

D. $a+b=10.$

Câu 19.Xác định hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ biết đồ thị có đỉnh $I\left(\frac{3}{2};\frac{1}{4}\right)$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

A. $y=-x^2+3x+2$

B. $y=-x^2-3x-2$

C. $y=x^2-3x+2$

D. $y=-x^2+3x-2$

Câu 20.Cho parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ có đồ thị như hình bên.

Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình $2f\left(x\right)-m=0$ có hai nghiệm phân biệt là

A. $m>-4$

B. $m\ge -4$

C. $m>-8$

D. $m<-4$

Câu 21.Tập hợp các giá trị của tham số m để tam thức $f\left(x\right)=x^2-(m+2)x+8m+1$ không âm với mọi x là

A. $m>28$

B. $0\le m\le 28$

C. $m<1$

D. $0<m<28$

Câu 22. Gọi S là tập hợp các nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-x-2}=\sqrt{2x^2+x-1}$. Tổng các phần tử của S là

A. 3;

B. 2;

C. 1;

D. 0.

Câu 23.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $A(2;4),B(5;0)$ và $C(2;1).$ Trung tuyến BM của tam giác đi qua điểm N có hoành độ bằng 20 thì tung độ bằng  

A. -12

B. $-\frac{25}{2}$

C. -13

D. $-\frac{27}{2}$

Câu 24.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng $d:(m-1)x+y+m=0$ và $\Delta :6x+my+9=0$. Nếu $m_0$ là giá trị của tham số m để d song song với $\Delta$ thì $m_0$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(0;4)$

B. $(-2;10)$

C. $(3;15)$

D. $(-10;2)$

Câu 25.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $A(1;-2),B(1;2)$ và $C(5;2).$ Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

A. $x^2+y^2-3x+2y+1=0$

B. $x^2+y^2-3x+1=0$

C. $x^2+y^2-6x-1=0$

D. $x^2+y^2-6x+1=0$

Câu 26.Cho hai tập hợp $A=\left(-3;-1\right)\cup \left(2;4\right),B=(m-1;m+2)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $A\cap B\ne \varnothing$ là

A. $\left(m\right)<5$ và $m\ne 0$

B. $\left(m\right)>5$

C. $1\le \left(m\right)\le 3$

D. $m>0$

Câu 27.Giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x;y)=x+2y$ với điều kiện $\left(\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right)$ là

A. 6; 

B. 8;

C. 10;

D. 12.

Câu 28.Tam giác ABC có $AB=\mathrm{2,}BC=\mathrm{4,}AC=3$. Tính độ dài đường phân giác trong góc .

A. 6; 

B. 8;

C. 10;

D. 12.

Câu 29.Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho $AB=3AM,CD=2CN$ và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích các vectơ $\overrightarrow{AG}$ qua các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ta được kết quả $\overrightarrow{AG}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ , hãy chọn đáp án đúng?

A. $m-n=-\frac{1}{18}$

B. $m-n=-\frac{1}{6}$

C. $m-n=-\frac{1}{8}$

D. $m-n=\frac{1}{6}.$

Câu 30.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $A(3;2),B(4;3),C(-1;3).$ Điểm N nằm trên tia BC. Biết điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ là đỉnh thứ 4 của hình thoi ABNM. Giá trị của $x_0$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(0;1)$

B. $\left(1;\frac{3}{2}\right)$

C. $\left(\frac{3}{2};2\right)$

D. $(2;3)$

Câu 31.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $A(-3;0),B(3;0)$ và $C(2;6).$ Gọi $H(a;b)$ là trực tâm tam giác đã cho. Giá trị của biểu thức $a+6b$ bằng

A. $a+6b=5$

B. $a+6b=6$

C. $a+6b=7$

D. $a+6b=8.$

Câu 32.Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số $y=-x^2+m-1+x+2$ nghịch biến trên khoảng (1, 2) là  

A. $m<5$

B. $m>5$

C. $m<3$

D. $m>3.$

Câu 33.Cho parabol $\left(P\right):y=x^2+2x-5$ và đường thẳng $d:y=2mx+2-3m.$ Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về phía bên phải của trục tung là

A. $1<m<\frac{7}{3}$

B. $m>1$

C. $m>\frac{7}{3}$

D. $m<1.$

Câu 34.Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên của tham số m thuộc nửa khoảng $\left(-2017;2017\right)$ để phương trình $\sqrt{2x^2-x-2m}=x-2$ có nghiệm.

A. 2014;

B. 2021;

C. 2013;

D. 2020.

Câu 35.Cho bất phương trình $\left(m^2-4\right)x^2+\left(m-2\right)x+1<0$. Tập tất cả các giá trị của tham số m làm cho bất phương trình vô nghiệm có dạng $\left(-\infty ;a\right)\cup \left(b;+\infty \right)$. Giá trị của a.b bằng

A. $-\frac{20}{3}$

B. 4;

C. -4

D. $\frac{20}{3}$

Câu 36.Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên không dương của tham số m để phương trình $\sqrt{2x+m}=x-1$ có nghiệm duy nhất?

A. 4;

B. 3;

C. 1;

D. 2.

Câu 37.Tìm các giá trị của m để phương trình $2\sqrt{x+1}=x+m$ có nghiệm

A. $m>2$

B. $m\ge 2$

C. $m\le 2$

D. $m<2.$

Câu 38.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết phương trình cạnh $AD:x-y-2=0$ , điểm B nằm trên đường thẳng $d:2x-y-2=0$ và diện tích hình vuông ABCD bằng 8. Viết phương trình tổng quát của AB có dạng $ax+by-10=0$, biết B có hoành độ dương. Khi đó giá trị của biểu thức a + b bằng

A. 5

B. -1

C. 2

D. -3

Câu 39.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang $ABCD\left(AB\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}CD\right)$ có $A(-1;2),D(-2;3)$ và $I(1;1)$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$ . Biết rằng $AB=\frac{1}{2}CD.$ Phương trình đường thẳng CD đi qua điểm nào dưới đây?

A. $N(1;2)$

B. $P(2;2)$

C. $M(5;-1)$

D. $Q(-1;3).$

Câu 40.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết trực tâm $H(1;1)$ và phương trình cạnh $AB:5x-2y+6=0$, phương trình cạnh $AC:4x+7y-21=0$. Phương trình cạnh BC là

A. $4x-2y+1=0$

B. $x-2y+14=0$

C. $x+2y-14=0$

D. $x-2y-14=0.$

Câu 41.Cho tam giác ABC có $BC=a;CA=b;BA=c$ và diện tích là S. Biết $S=b^2-{(a-c)}^2$. Giá trị của B là

A. $\frac{1}{15}$

B. $\frac{8}{15}$

C. $\frac{4}{15}$

D. $\frac{6}{15}.$

Câu 42. Cho AD và BE là hai tia phân giác trong của tam giác ABC. Biết $AB=\mathrm{4,}BC=5$ và $CA=6$. Khi đó $\overrightarrow{DE}$ bằng

A. $\frac{5}{9}\overrightarrow{CA}-\frac{3}{5}\overrightarrow{CB}$

B. $\frac{3}{5}\overrightarrow{CA}-\frac{5}{9}\overrightarrow{CB}$

C. $\frac{9}{5}\overrightarrow{CA}-\frac{3}{5}\overrightarrow{CB}$

D. $\frac{3}{5}\overrightarrow{CA}-\frac{9}{5}\overrightarrow{CB}.$

Câu 43.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho $A(3;-1),B(-1;2)$ và $I(1;-1)$. Xác định tọa độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ tâm O của hình bình hành ABCD.

A. $O\left(2;\frac{5}{2}\right)$

B. $O\left(-2;\frac{5}{2}\right)$

C. $O\left(2;-\frac{5}{2}\right)$

D. $O\left(-2;-\frac{5}{2}\right).$

Câu 44.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho $A(3;4),B(2;1)$ và $I(-1;-2)$. Tọa độ điểm M trên đường thẳng BC để $\widehat{AMB}=45°$ là

A. $M(5;4)$

B. $M(2;3)$

C. $M(-5;4)$

D. $M(2;-3).$

Câu 45.Cho parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Biết (P) đi qua $M(4;3),P$ cắt tia Ox tại $N(3;0)$ và Q sao cho $\Delta MNQ$ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3. Khi đó $a+b+c$ bằng

A. $\frac{24}{5}$

B. $\frac{12}{5}$

C. 5;

D. 4.

Câu 46.Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để $f\left(x\right)=2x^2-(2m+1)x+m^2-2m+2\le 0$ với mọi $x\in \left[\frac{1}{2};1\right]$. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 0.

Câu 47.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $B(2;-1),C(4;1).$ Biết tam giác ABC có diện tích bằng 6 và có trọng tâm thuộc đường thẳng $2x-y-9=0.$ Tọa độ điểm A là

A. $A(6;4),A(5;7)$

B. $A(6;-3),A(18;21)$

C. $A(3;6),A(5;7)$

D. $A(6;3),A(19;22)$

Câu 48.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đỉnh A(2; 4), trọng tâm $G\left(2;\frac{2}{3}\right).$ Biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng d có phương trình $x+y+2=0$ và đỉnh C có hình chiếu vuông góc trên d là điểm $H(2;-4).$ Giả sử $B(a;b),$ khi đó $T=a-3b$ bằng

A. $T=4$

B. $T=-2$

C. $T=2$

D.  $T=0$

Câu 49.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta :5x-2y-19=0$ và đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-4x-2y=0.$ Từ một điểm M nằm trên đường thẳng $\Delta$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ đến đường tròn (C) với A, B là hai tiếp điểm điểm. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết $AB=\sqrt{10}$.

A. ${\left(x-\frac{195}{58}\right)}^2+{\left(y-\frac{35}{26}\right)}^2=\frac{5}{2}$

B. ${\left(x-\frac{197}{58}\right)}^2+{\left(y-\frac{101}{58}\right)}^2=\frac{5}{2}$

C. ${\left(x-\frac{197}{58}\right)}^2+{\left(y-\frac{37}{26}\right)}^2=\frac{7}{2}$

D. ${\left(x-\frac{195}{58}\right)}^2+{\left(y-\frac{35}{26}\right)}^2=\frac{7}{2}$

Câu 50.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm $A(0;9),B(3;6).$ Gọi D là miền nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y+a\le 0\\ 6x+3y+5a\ge 0\end{array}\right.$ . Tập hợp tất cả các giá trị của a để $AB\subset D$ là

A. $\left[-\frac{27}{5};0\right]$

B. $\left[0;\frac{17}{5}\right]$

C. $\left[\frac{7}{5};\frac{27}{5}\right]$

D.  $\left[\frac{20}{7};\frac{39}{5}\right].$

TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 10 THPT Khóa ngày 11 tháng 4 năm 2023 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (6,0 điểm):

a. Tìm tập xác định của hàm số $y=x+10+\frac{11}{\sqrt{9+8x-x^2}}$.

b. Cho parabol $\left(P\right):y=2x^2+6x-1$. Tìm giá trị của k để đường thẳng $\Delta :y=\left(k+6\right)x+1$ cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên trục Oy.

Câu 2 (4,0 điểm):

a. Giải phương trình $2x^2+2x-3+3\sqrt{x^2+x+1}=0$.

b. Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=2023x^2+bx+c$, chứng minh rằng nếu $f\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in ℝ$ thì $-\left(8092+c\right)\le 2b\le 8092+c$.

Câu 3 (4,0 điểm): Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12 gam hương liệu, 9 lít nước và 315 gam đường để pha chế hai loại nước A và B . Để pha chế 1 lít nước A cần 45 gam đường, 1 lít nước và 0,5 gam hương liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15 gam đường, 1 lít nước và 2 gam hương liệu. Mỗi lít nước A nhận 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là lớn nhất?

Câu 4 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại $A\left(-1;3\right)$. Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho $AB=3AD$ và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD. Điểm $M\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$ là trung điểm HC. Xác định tọa độ đỉnh C, biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình $x+y+7=0$.

Câu 5 (2,0 điểm): Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15. Lấy các điểm M, N, P lần lượt trên các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $BM=\mathrm{5,}CN=\mathrm{10,}AP=4$. Chứng minh rằng $AM\perp PN$.

Câu 6 (2,0 điểm): Một sa mạc có dạng hình chữ nhật ABCD có $DC=25\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}km}$, $CB=20\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}km}$ và P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A đến một điểm X thuộc đoạn PQ rồi lại đi thẳng từ X đến C. Vận tốc của ngựa khi đi trên phần ABQP là 15 km/h , vận tốc của ngựa khi đi trên phần PQCD là 30 km/h. Tìm vị trí của X để thời gian ngựa di chuyển từ A đến C là ít nhất?

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN – THẠCH THẤT ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC MÔN VĂN HÓA KHỐI 10, 11 NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (5,0 điểm):

a) Tìm phương trình parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c$, biết rằng (P) đi qua ba điểm A, B, C như hình vẽ.

 

b) Giải phương trình $\sqrt{3x^2-4x+4}=3x+2$ trên tập số thực.

Câu 2 (2,5 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m  để bất phương trình

$\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+3m-8\le 0$ đúng với mọi $x\in ℝ$.

Câu 3 (5,0 điểm):

a) Cho tam giác ABC lấy các điểm I, J thỏa mãn $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ và $3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm $M\left(-1;2\right)$ và hai đường thẳng $d_1:x+2y+1=\mathrm{0,}{d}_2:2x+y+2=0$. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt $d_1$

tại A, cắt $d_2$ tại B sao cho $MA=2MB$.

Câu 4 (2,5 điểm): Trong mọi tam giác ABC, gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB và S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$.

Câu 5 (2,0 điểm): Cho phương trình $4\sqrt{x^2-4x+5}=x^2-4x+2m-1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt.

Câu 6 (3,0 điểm):

Cho x, y, z là số thực. Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2+x^2{y}^2{z}^2-4xyz+y^2{z}^2-2yz+1\ge 0$.

------------- HẾT -------------

Họ và tên Học sinh:……………………… Lớp: ..... Phòng: .... Số báo danh:………………

Câu 1. Giá cước đi taxi của một công ty được cho như bảng sau:

a. Bạn An đi taxi để về quê với quãng đường 36km, hỏi bạn phải trả bao nhiêu tiền đi taxi?

b. Lập công thức biểu diễn số tiền phải trả theo quãng đường khi đi taxi.

Câu 2. Hàng tuần bạn HS dành tối đa 14 giờ đồng hồ để tập thể dục giữ vóc dáng, bạn tập cả hai môn là đạp xe và boxing. Biết rằng mỗi giờ đạp xe tiêu hao 600 calo và mỗi giờ tập boxing tiêu hao 900 calo. Bạn HS muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không vượt quá 10800 calo cho tập cả hai môn này mỗi tuần. Hỏi số giờ dành cho tập cả hai môn đạp xe và boxing trong mỗi tuần là bao nhiêu để số calo tiêu hao nhiều nhất?

Câu 3.

1. Cho hàm số $y=-x^2+2x-3$ có đồ thị là parabol (P) và hàm số $y=6x+m$ có đồ thị là đường thẳng d. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn $-4<x_1<-3$ và $-1<x_2<0$.

2. Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$, chứng minh rằng nếu $f\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in ℝ$ thì $-\left(4a+c\right)\le 2b\le 4a+c$.

3. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn $3\le x\le \mathrm{6,3}\le y\le 6$ và $0<z\le 2$ và $x+y+z=11$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=xyz$.

Câu 4. Cho tam giác ABC có diện tích là S và nội tiếp đường tròn có bán kính là R; kí hiệu các góc $\widehat{BAC}=A,\widehat{CBA}=B,\widehat{ACB}=C$. Cho biết $3S=2R^2\left({\text{sin}}^{3}A+{\text{sin}}^{3}B+{\text{sin}}^{3}C\right)$, chứng minh ABC là tam giác đều.

Câu 5. Cho tam giác đều ABC có các cạnh bằng a. Các điểm D, E xác định bởi $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{DC}, 2\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}$. Gọi N và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC và AE. Gọi H là trực tâm của các tam giác ABD.

a. Chứng minh rằng $\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BE}=\frac{a^2}{2}$.

b. Chứng minh hai đường thẳng NQ và HC vuông góc.

c. Tìm tập hợp điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{ME}.\overrightarrow{MA}=\frac{11}{4}{a}^2$.

-----HẾT-----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5,0 điểm)

a) Tìm số giá trị nguyên của tham số m để $\frac{x^2-4x-4}{x^2-2\left(m-1\right)x+16}\le 2$ với mọi $x\in ℝ$

b) Giải phương trình $x^3+x^2-3x-2=2\sqrt{x+2}$

Câu 2. (2,0 điểm)

Để gây quỹ cho chương trình Tết yêu thương, một trường THPT tổ chức cho các lớp gói bánh chưng và bánh tét. Mỗi lớp được sử dụng tối đa 10 kg gạo nếp, 1 kg thịt và 1,6 kg đậu  xanh. Để gói 1 cái bánh chưng cần 0,5 kg gạo nếp, 0,05 kg thịt và 0,1 kg đậu xanh. Để gói 1 cái bánh tét cần 0,75 kg gạo nếp, 0,075 kg thịt và 0,1 kg đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng bán được 30 ngàn đồng, mỗi cái bánh tét bán được 40 ngàn đồng. Để thu được số tiền nhiều nhất, mỗi lớp cần gói bao nhiêu cái bánh chưng, bao nhiêu cái bánh tét?

Câu 3. (6,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm $M\left(2;3\right)$ là trung điểm của cạnh AB, điểm $H\left(1;5\right)$ và điểm $K\left(5;9\right)$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ C và B, điểm D thuộc đường thẳng $\Delta :x-2y-1=0$ sao cho tam giác BCD cân tại C. Tìm tọa độ các điểm C và D, biết rằng điểm B có hoành độ âm.

b) Cho tam giác ABC không vuông có độ dài đường trung tuyến kẻ từ A là $m_a=5$, độ dài các đường cao kẻ từ B và C lần lượt là $h_b=8$ và $h_c=6$. Tính $\cos A$.

Câu 4. (5,0 điểm)

a) Cho tập hợp $A=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\}$. Gọi B là tập hợp tất cả các số tự nhiên chẵn có 8 chữ số được lập từ A và C là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ A sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối. Tìm số phần tử của tập hợp B và số phần tử của tập hợp C.

b) Cho đa thức $f\left(x\right)=a{x}^3-x^2+bx-1$ với a, b là các số thực, $a\ne 0$, có 3 nghiệm đều là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{2-3ab-10a}{a^3}$.

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho bảng vuông 3 × 3 gồm 9 hình vuông đơn vị. Điền vào mỗi ô vuông đơn vị của bảng một chữ số 0, 1, …, 9. Hỏi có bao nhiêu cách điền để tổng các số trên mỗi hàng và tổng các số trên mỗi cột đều là số lẻ. Biết rằng các chữ số được điền vào đủ 9 ô của bảng và không có chữ số nào được lặp lại.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 hay khác:

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Huyện Yên Dũng (Bắc Giang) năm 2022-2023

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT tỉnh Hà Nam năm 2022-2023

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT tỉnh Hà Tĩnh năm 2022-2023

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Thị Xã Quảng Trị năm 2022-2023

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Phùng Khắc Khoan (Hà Nội) năm 2022-2023

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Nguyễn Gia Thiều (Hà Nội) năm 2022-2023

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Bình Chiểu (thành phố Hồ Chí Minh) năm 2022-2023

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong (thành phố Hồ Chí Minh) năm 2022-2023

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2022-2023

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---