Đề thi học sinh giỏi Toán 11 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2023-2024

Bài viết cập nhật đề thi HSG Toán 11 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định năm 2023-2024 giúp học sinh lớp 11 ôn tập và đạt kết quả cao trong bài thi học sinh giỏi Toán 11.

Đề thi học sinh giỏi Toán 11 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2023-2024

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Đề thi học sinh giỏi Toán 11 bản word có lời giải chi tiết, dễ dàng chỉnh sửa:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: TOÁN. Khối : 11 Thời gian làm bài: 75 phút   Đề thi gồm có 01 trang

Câu 1. [1.5 điểm] Giải phương trình: $\frac{(\sin 2x-\sin x+4)\cos x-2}{2\sin x+\sqrt{3}}=0$.

Câu 2. [1.5 điểm] Giải phương trình $\left(\sqrt{x+4}-2\sqrt{x+1}\right)\left(x^2+2\sqrt{x^2+5x+4}\right)+3x^2=0$.

Câu 3. [1.5 điểm] Ba bạn An, Bình, Chiến mỗi người chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc đoạn $\left[1;2023\right]$. Tính xác xuất để ba số được chọn có tổng chia hết cho 3. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2.

Câu 4. [1.0 điểm] Cho tam giác ABC gọi a, b, c theo thứ tự là độ dài ba cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác thỏa mãn $3a=2\left(b+c\right)$. Tính $\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}$.

Câu 5. [3.0 điểm] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với $AD\parallel BC, AD=2BC$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SD.

a) Chứng minh rằng $CN\parallel \left(SAB\right)$.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, mặt phẳng $\left(GMN\right)$ cắt SC tại L. Tính tỉ số $\frac{SL}{SC}$.

c) Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thay đổi và luôn đi qua MN cắt các cạnh SA, SC tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng $\frac{SA}{SP}+2\frac{SC}{SQ}=6$.

Câu 6. [1.5 điểm] Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$ biết

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ 9u_{n+1}=u_n+2\left(2n+3\right)\sqrt{u_n+1}+4n^2+12n+\mathrm{1,}n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right.$

…………………HẾT…………….

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG CỤM HUYỆN YÊN DŨNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 06 trang)

ĐỀ THI CHỌN HSG VĂN HOÁ CỤM YÊN DŨNG NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN TOÁN 11 Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (14 ĐIỂM)

Câu 1. Cho tập hợp $A=\left(1;2;3;\mathrm{...};100\right)$. Chọn ngẫu nhiên ba số thuộc A. Xác suất để chọn được ba số có tổng bằng 90 là

A. $\frac{631}{161700}$

B. $\frac{27}{10780}$

C. $\frac{531}{161700}$

D. $\frac{3}{2156}$

Câu 2. Cho hai số thực a, b thoả mãn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{a{x}^2-5x+b}{x^2-4}=\frac{3}{4}$, giá trị của a + b bằng

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 2.

Câu 3. Một cấp số nhân có $u_1=3$ và $q=2$. Số 384 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân này?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Câu 4. Ông A mua chiếc xe ô tô với giá 800 triệu đồng. Biết rằng giá trị của chiếc xe đó mỗi năm giảm 6,7% so với năm liền trước. Hỏi sau 10 năm thì giá chiếc xe ô tô của ông A còn lại là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng triệu).

A. 400 triệu.

B. 405 triệu.

C. 390 triệu.

D. 395 triệu.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA và d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (MCD). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $d\text{ // }BD$

B. $d\text{ // }AC$

C. $d\text{ // }AD$

D. $d\text{ // }CD$

Câu 6. Hàm số nào dưới đây liên tục trên $ℝ$?

A. $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

B. $y=\sqrt{x}$

C. $y=\sqrt{x^2+1}$

D. $y=\frac{x^2-1}{x-1}$

Câu 7. Với số thực a dương tuỳ ý, $\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}}:a^{\frac{11}{16}}$ bằng

A. a

B. $a^{\frac{1}{4}}$

C. $a^{\frac{1}{2}}$

D. $a^{\frac{3}{4}}$

Câu 8. Một rạp hát có 25 hàng ghế, mỗi hàng có 20 ghế. Trong một buổi biểu diễn ca nhạc, rạp hát đó đã bán được vừa hết số vé tương ứng với số ghế trong rạp hát. Tính số tiền thu được từ việc bán vé, biết rằng giá mỗi vé ở hàng ghế thứ nhất là 500000 đồng và giá vé của hàng ghế sau ít hơn giá vé ở hàng ghế liền trước 15000 đồng.

A. 200 triệu đồng.

B. 125 triệu đồng.

C. 156,25 triệu đồng.

D. 160 triệu đồng.

Câu 9. Tập xác định của hàm số $y={\log }_2\left(3-2x-x^2\right)$ là:

A. $D=\left(-1;3\right)$

B. $D=\left(-3;1\right)$

C. $D=\left(0;1\right)$

D. $D=\left(-1;1\right)$

Câu 10. Cho hàm số bậc ba $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c\in ℝ$. Biết rằng $\left\{\begin{array}{l}a+b+c+1<0\\ 4a-2b+c-8>0\end{array}\right.$, phương trình $f\left(x\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Câu 11. Chọn ngẫu nhiên một số có hai chữ số. Xác suất để số được chọn chia hết cho 11 hoặc 15 là

A. $\frac{13}{45}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{15}$

D. $\frac{1}{10}$

Câu 12. Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Gọi I là giao điểm của đường thẳng AC' với $\left(C{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$. Tỉ số $\frac{I{C}^{\text{'}}}{IA}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{1}{2}$

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác $SAB,SAD,ABD$. Mặt phẳng (IJK) song song với mặt phẳng nào dưới đây ?

A. $\left(ABCD\right)$

B. $\left(SBD\right)$

C. $\left(SBC\right)$

D. $\left(SCD\right)$

Câu 14. Tập xác định của hàm số $y=\frac{\cot x}{\sqrt{1-\sin x}}$ là

A. $ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi \left|\right.k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $ℝ\backslash \left\{k\pi \left|\right.k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\pi \left|\right.k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $ℝ\backslash \left\{k\pi ,\frac{\pi }{2}+k2\pi \left|\right.k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 15. Có bao nhiêu số nguyên a để $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\left(a^2-9\right)x^3+3x^2+2024x\right]=+\infty$?

A. 6.

B. 5.

C. 7.

D. Vô số.

Câu 16. Giá trị của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}\text{ khi }x>0\\ 3x+m\text{ khi }x\le 0\end{array}\right.$ liên tục tại x = 0 là

A. $m=-\frac{1}{2}$

B. $m=1$

C. $m=-1$

D. $m=\frac{1}{2}$

Câu 17. Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,B^{\text{'}}{C}^{\text{'}},D{D}^{\text{'}}$. Thiết diện của hình hộp đã cho cắt bởi mặt phẳng $\left(MNP\right)$ là hình gì?

A. Lục giác.

B. Ngũ giác.

C. Tứ giác.

D. Tam giác.

Câu 18. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm vị trí của điểm M biết thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (HKM) là một tứ giác.

A. $M\equiv C$

B. M nằm ngoài đoạn CD.

C. $M\equiv D$

D. M nằm giữa C và D.

Câu 19. Biểu thức $\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)$ bằng 

A. $\sin a+\sin \frac{\pi }{3}$

B. $\frac{1}{2}\sin a-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a$

C. $\frac{1}{2}\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a+\frac{1}{2}\cos a$

Câu 20. Lớp 11A có 50 học sinh, trong đó có 30 học sinh thích học môn Toán, 28 học sinh thích học môn Văn và 6 học sinh không thích học cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ lớp đó. Xác suất để học sinh được chọn chỉ thích học môn Toán mà không thích học môn Văn là

A. $\frac{3}{25}$

B. $\frac{7}{25}$

C. $\frac{8}{25}$

D. $\frac{2}{25}$

Câu 21. Đặt $a={\log }_{2}3, b={\log }_{5}3$. Nếu biểu diễn ${\log }_{6}45=\frac{a(m+nb)}{b(a+p)}$ với $m,n,p\in \mathbb{N}$ thì m + n + 2p bằng

A. 5

B. 4

C. 2

D. 6

Câu 22. Cho hai số thực a, b thoả mãn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3\sqrt{x^2+x}-\sqrt{a{x}^2+3x+1}-\sqrt{4x^2+bx+2}\right)=\frac{1}{2}$. Giá trị của $a+2b$ bằng

A. -1

B. 3

C. 1

D. -3

Câu 23. Tam giác ABC có số đo một góc là 120⁰ và độ dài ba cạnh của nó là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Xác định chu vi của tam giác ABC biết diện tích tam giác đó là $\frac{5\sqrt{3}}{3}\left(c{m}^2\right)$.

A. 5 (cm)

B. 10 (cm)

C. $\frac{26}{3}\left(cm\right)$

D. 15 (cm)

Câu 24. Số nghiệm của phương trình $\cos 2x-3\sin x+1=0$ thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$ là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Câu 25. Cho $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$ và $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}$. Giá trị của $\cos 2\alpha$ bằng

A. $\frac{7}{16}$

B. $-\frac{\sqrt{7}}{4}$

C. $\frac{\sqrt{7}}{4}$

D. $-\frac{7}{16}$

Câu 26. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_n=u_{n-1}+\mathrm{4,}n\ge 2\end{array}\right.$.

Biết $\frac{1}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}}+\frac{1}{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{u_{2023}}+\sqrt{u_{2024}}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{c}$ với a, b, c là các số nguyên dương và b, c nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b + c.

A. 8014

B. 8102

C. 8104

D. 8012

Câu 27. Cho đa giác đều 20 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành hình thang là

A. $\frac{24}{343}$

B. $\frac{54}{323}$

C. $\frac{5}{19}$

D. $\frac{3}{19}$

Câu 28. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; P là điểm thuộc cạnh CD sao cho $PC=2PD$. Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại Q, tỉ số $\frac{QA}{QD}$ bằng

A. 2

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Câu 29. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{3}\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1},n\ge 1\end{array}\right.$ . Tìm $u_{2024}$.

A. $u_{2024}=\frac{1}{4049}$

B. $u_{2024}=4049$

C. $u_{2024}=\frac{1}{4047}$

D. $u_{2024}=4047$

Câu 30. Tính $\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{2023}{x^{2023}-1}-\frac{2024}{x^{2024}-1}\right)$.

A. $\frac{2024}{2023}$

B. 1

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{2023}{2024}$

Câu 31. Cho tứ diện ABDD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm $AC,BC,BD,AD$. Biết rằng tứ giác MNPQ là hình thoi, khẳng định nào sau đây đúng?

A. $AC=BD$

B. $AD=BC$

C. $AB=BC$

D. $AB=CD$

Câu 32. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{9^x}{9^x+3}$. Tính $P=f\left(\frac{1}{2024}\right)+f\left(\frac{2}{2024}\right)+\mathrm{...}+f\left(\frac{2023}{2024}\right)$.

A. $P=\frac{2025}{2}.$

B. $P=\frac{2023}{2}.$

C. $P=1013.$

D. $P=1012.$

Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD và G là trọng tâm tam giác SBD. Mặt phẳng $\left(MNG\right)$ cắt SC tại điểm H. Tính $\frac{SH}{SC}$

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, tam giác SAB đều cạnh 3a. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho $MB=2MC$ và (P) là mặt phẳng đi qua M, song song với SA và CD. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P) có diện tích bằng

A. $\frac{5\sqrt{3}}{4}{a}^2$

B. $\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^2$

C. $\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$

D. $\frac{5\sqrt{3}}{2}{a}^2$

Câu 35. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $4\sin 2x+\sqrt{3}m=2\left(m\sin x+2\sqrt{3}\cos x\right)$ có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left(0;\frac{5\pi }{2}\right)$?

A. 3

B. 6

C. 4

D. 5

Câu 36. Hai xạ thủ A, B cùng bắn vào mục tiêu một lần. Xác suất để xạ thủ A, B bắn trúng mục tiêu lần lượt là 0,6 và 0,8. Xác suất để có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu là

A. 0,44.

B. 0,92.

C. 0,48.

D. 0,56.

Câu 37. Một lớp có 36 ghế đơn được xếp thành hình vuông 6x6. Giáo viên muốn xếp 36 học sinh, trong đó có hai anh em là Bình và An. Tính xác suất để hai anh em Bình và An luôn được ngồi gần nhau theo chiều dọc hoặc ngang?

A. $\frac{2}{21}$

B. $\frac{1}{21}$

C. $\frac{1}{7}$

D. $\frac{4}{21}$

Câu 38. $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x^2-4}$ bằng

A. $-\infty$

B. 1

C. $+\infty$

D. $\frac{3}{4}$

Câu 39. Gọi T là tập giá trị của hàm số $y=\frac{1}{2}{\sin }^{2}x-\frac{3}{4}\cos 2x+3$. Tìm tổng các giá trị nguyên của T.

A. 4.

B. 6.

C. 3.

D. 7.

Câu 40. Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ dưới là đồ thị của ba hàm số $y={\log }_{a}x,y={\log }_{b}x,y={\log }_{c}x$.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a<c<b$

B. $c<a<b$

C. $c<b<a$

D. $a<b<c$

PHẦN II: TỰ LUẬN (6,0 ĐIỂM)

Câu 1 (1,5 điểm) Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng $\left(0;2\pi \right)$ của phương trình ${\sin }^4\frac{x}{2}+{\cos }^4\frac{x}{2}=\frac{5}{8}$.

Câu 2 (2,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, CD, E là điểm thuộc cạnh BC sao cho $EB=2EC$ và G là trọng tâm tam giác SAD.

a) Chứng minh CG song song với (SAE)

b) Gọi là F giao điểm của SA với EMN. Tính tỉ số $SF:SA$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thoả mãn $u_1=\mathrm{1,}{u}_{n+1}=4u_n+2^{n+1}$ với $\forall n\ge 1$. Tìm $u_{2024}$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một anh sinh viên T nhập học đại học vào tháng 8 năm 2023. Bắt đầu từ tháng 9 năm 2023, cứ vào ngày mồng một hàng tháng anh vay ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất cố định 0,8%/tháng. Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo (lãi kép). Vào ngày mồng một hàng tháng kể từ tháng 9 năm 2025 về sau anh không vay ngân hàng nữa và anh còn trả được cho ngân hàng 2 triệu đồng do việc làm thêm. Hỏi ngay sau khi kết thúc ngày anh ra trường (30/6/2027) anh còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn đồng)?

------ HẾT ------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI  CỤM TRƯỜNG THPT HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2023 – 2024

Câu I. (4 điểm)

1) Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{5\pi }{2}\right)-3\cos \left(x-\frac{7\pi }{2}\right)=1+2\sin x$ trên khoảng $\left(\mathrm{0,3}\pi \right).$

2) Cho tam giác ABC. Chứng minh $\frac{\cos A+\cos B+\cos C-1}{\sin \text{}A+\sin B-\sin C}=\tan \frac{C}{2}.$

Câu II. (4 điểm)

1) Cứ vào đầu mỗi tháng, ông A đến gửi tiết kiệm ngân hàng số tiền 10 triệu đồng với lãi suất là 0,5%/ tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau đúng 5 năm thì ông A nhận được số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu, biết rằng trong suốt quá trình gửi, ông A không rút tiền ra và lãi suất của ngân hàng không thay đổi.

2) Cho hai số thực a, b đều lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{1}{{\log }_{ab}a}+\frac{1}{{\log }_{\sqrt[4]{ab}}b}.$

Câu III. (4 điểm)

1) Tìm các giới hạn sau

a) $A=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{1-\sqrt{2-x^2}}.$

b) $B=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)\mathrm{...}\left(1+10x\right)-1}{x}.$

2) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$ , công bội $q=2.$ Chứng minh

$\frac{1}{u_3-u_1}+\frac{1}{u_4-u_2}+\frac{1}{u_5-u_3}+\mathrm{...}+\frac{1}{u_{2024}-u_{2022}}<\frac{2}{3}.$

Câu IV. (6 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và $AB=BC=a,AD=2a$. Biết SA vuông góc với đáy $\left(ABCD\right)$ và SA = a.

1) Tính sin của góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAC)

2) Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh CD, (M khác C và D). Mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SBC) cắt các cạnh AB, SA, SD lần lượt tại N, P và Q. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang vuông.

3) Khi M thay đổi, tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác MNPQ

Câu V. (2 điểm) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{c}{u}_1=1\\ u_{n+1}=4u_n+{3.4}^n+\mathrm{6,}n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right..$ Tìm số hạng tổng quát $u_n$ và tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{n{.4}^n}.$

........................HẾT.....................

SỞ GD – ĐT TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN   ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 LẦN THỨ XXVIII – NĂM 2024 MÔN THI: TOÁN – KHỐI: 11 Thời gian làm bài: 180 phút Đề thi gồm có 01 trang

Câu 1 (4,0 điểm). Cho hai đa thức $P\left(x\right)=x^4-2x-1$ và $Q\left(x\right)=x^6+x^4-4x^3-x^2-1.$

a) Chứng minh đa thức P(x) có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

b) Gọi hai nghiệm thực phân biệt của P(x) là u và v. Chứng minh uv là một nghiệm của $Q\left(x\right).$

Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{1+\sqrt{1+x_n^2}-x_n}{1+\sqrt{1+x_n^2}+x_n}$ với mọi n nguyên dương. Chứng minh dãy số $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 3 (4,0 điểm). Cho số nguyên dương m $\left(m\ge 2\right).$ Gọi p là ước nguyên tố của $2^{2^m}+1.$ Giả sử $p=k{.2}^n+1$ với k là số nguyên dương lẻ và n là số nguyên dương.

a) Chứng minh $n\ge m+1.$

b) Chứng minh $k^{2^{n-1}}-1$ chia hết cho p

Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn $\left(AB<AC\right)$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$ và có H là trực tâm. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC cắt đoạn thẳng AM tại K; tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng BC ở điểm S.

a) Chứng minh $MK.MA=M{B}^2$ và $SA=SK.$

b) Đường thẳng SK cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác TPQ tiếp xúc với đường tròn (O).

Câu 5 (4,0 điểm). Ban chấp hành Đoàn trường THPT X gồm có n thành viên. Trong năm học, Đoàn trường tổ chức m chương trình, mỗi chương trình có đúng k thành viên trong ban chấp hành tham gia. Mỗi thành viên trong ban chấp hành tham gia ít nhất một chương trình.

a) Cho $m=8;k=3.$ Biết rằng với hai chương trình bất kỳ luôn có đúng một thành viên trong ban chấp hành tham gia cả hai chương trình đó. Chứng minh $n=17.$

b) Cho $n=25;k=10.$ Biết rằng với hai chương trình bất kỳ luôn có không quá 3 thành viên trong ban chấp hành cùng tham gia. Chứng minh $m\le 6.$

--------------HẾT--------------

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1. Biết a, b là các số thực thoả mãn $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x-3}=3$. Giá trị $a+2b$ bằng

A. 6

B. 3

C. -6

D. -3

Câu 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M, N lần lượt thuộc đoạn AC, BF sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}.$ Đường thẳng MN song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. $\left(ADF\right).$

B. $\left(BCE\right).$

C. $\left(ADE\right).$

D. $\left(DCF\right).$

Câu 3. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Diện tích của tam giác vuông đã cho bằng

A. $\frac{3}{8}.$

B. $\frac{5}{8}.$

C. $\frac{3}{4}.$

D. $\frac{3}{2}.$

Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là

A. 2

B. 4

C. 6

D. 1

Câu 5. Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là

A. $\mathrm{0,9825}$

B. $\mathrm{0,9625}$

C. $\mathrm{0,9925}$

D. $\mathrm{0,9725}$

Câu 6. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2+\left(m-4\right)x-2m+4$ ( m là tham số). Tổng các giá trị của m để phương trình $f\left(\cos x\right)=0$ có đúng một nghiệm thuộc khoảng $\left(\frac{-\pi }{3};2\pi \right)$ là

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Câu 7. Có 2 bình, mỗi bình đựng 6 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi từ bình thứ nhất và 1 viên bi từ bình thứ 2. Tính xác suất để lấy được viên bi thứ nhất màu trắng và viên bi thứ hai màu đen?

A. $\frac{23}{22}$

B. $\frac{35}{144}$

C. $\frac{1}{35}$

D. $\frac{30}{121}$

Câu 8. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $4a-2b+c>8$ và $a+b+c<-1$. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ bằng

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Câu 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_1$ và $G_2$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $G_1{G}_2\parallel \left(ABC\right).$

B. $G_1{G}_2\parallel \left(ABD\right).$

C. $B{G}_1,A{G}_2,CD$ đồng quy

D. $G_1{G}_2=\frac{2}{3}AB.$

Câu 10. Tìm m để phương trình $m\sin x-2m+1=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\pi \right)$

A. $\frac{1}{2}\le m<1.$

B. $\frac{1}{2}<m<1.$

C. $m>1.$

D. $\frac{1}{2}<m\le 1.$

Câu 11. Tập xác định D của hàm số $y=\frac{\tan x+1}{1-{\cos }^{2}x}$ là

A. $D=R\backslash \left\{k\pi ,k\in Z\right\}.$

B. $D=R\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\right\}.$

C. $D=R\backslash \left\{k\frac{\pi }{2},k\in Z\right\}.$

D. $D=R\backslash \left\{k2\pi ,k\in Z\right\}.$

Câu 12. Ba cầu thủ sút phạt đền, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là x, y và 0,6 (với x > y). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336. Tính xác suất để có ít nhất hai cầu thủ ghi bàn.

A. $P\left(C\right)=\mathrm{0,452}$

B. $P\left(C\right)=\mathrm{0,789}$

C. $P\left(C\right)=\mathrm{0,453}$

D. $P\left(C\right)=\mathrm{0,788}$

Câu 13. Hàm số $y=\sin x-\cos x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right).$

B. $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right).$

C. $\left(0;\pi \right).$

D. $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right).$

Câu 14. Đơn giản biểu thức $C=\cos \left(\frac{3\pi }{2}-a\right)-\sin \left(\frac{3\pi }{2}-a\right)+\cos \left(a-\frac{7\pi }{2}\right)-\sin \left(a-\frac{7\pi }{2}\right)$

A. $2\sin a$

B. $-2\sin a$

C. $2\cos a$

D. $-2\cos a$

Câu 15. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{3x+5}{{\log }_{2024}\left(x^2-2x+m^2-4m+5\right)}$ xác định với mọi $x\in R$ là

A. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(3;+\infty \right).$

B. $\left[1;3\right]\backslash \left\{2\right\}.$

C. $\left(1;3\right)\backslash \left\{2\right\}.$

D. $\left(-\infty ;1\right].$

Câu 16. Độ lớn M của một trận động đất theo thang Richter được tính theo công thức $M=\log \frac{A}{A_0}$, trong đó A là biên độ lớn nhất ghi được bởi máy đo địa chấn, $A_0$ là biên độ tiêu chuẩn được sử dụng để hiệu chỉnh độ lệch gây ra bởi khoảng cách của máy đo địa chấn so với tâm chấn (${\text{A}}_0=1\mu m$). Trận động đất lớn nhất lịch sử ở Chilê năm 1960 có cường độ là 9,5 độ richter. Trận động đất ở Syria và Thổ Nhĩ Kỳ năm 2023 có cường độ là 7,8 độ richter. Hỏi trận động đất ở Chile năm 1960 có biên độ mạnh gấp bao nhiêu lần trận động đất ở Syria và Thổ Nhĩ Kỳ năm 2023 (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 17

B. 30

C. 170

D. 50

Câu 17. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là

A. giao điểm của đường thẳng EG và (ACD).

B. điểm F.

C. giao điểm của đường thẳng EG và AF.

D. giao điểm của đường thẳng EG và AC.

Câu 18. Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với $u_1=\mathrm{3,}$ công sai bằng 2 và cấp số cộng $\left(v_n\right)$ có $v_1=2$ và công sai bằng 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt đồng thời trong 2024 số hạng đầu tiên của cả hai cấp số cộng nói trên?

A. 335.

B. 674.

C. 1010.

D. 673.

Câu 19. Cho $a={\log }_{2}3$ và $b={\log }_{2}5$. Khi đó ${\log }_{6}40$ bằng

A. $\frac{3-b}{1-a}$

B. $\frac{3+b}{1+a}$

C. $\frac{1+a}{3+b}$

D. $\frac{1-a}{3-b}$

Câu 20. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng $\left(0;2024\right)$ để $\lim \sqrt{\frac{9^n+3^{n+1}}{5^n+9^{n+a}}}\le \frac{1}{2187}$?

A. 2017

B. 2016

C. 2018

D. 2024

Câu 21. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $2f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=x^2+2x-\mathrm{1,}\forall x\in ℝ$. Tính $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+2\right)-f\left(2\right)}{x}$.

A. 2

B. $\frac{8}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 4

Câu 22. Cho hình lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$ Gọi H, M lần lượt là trung điểm của $A\text{'}B\text{'},AB.$ Đường thẳng B'C song song với mặt nào sau đây?

A. $\left(MHC\text{'}\right).$

B. $\left(MA\text{'}C\text{'}\right).$

C. $\left(HAB\right).$

D. $\left(AHC\text{'}\right).$

Câu 23. $\lim \left(\sqrt{8+\frac{n^2-1}{2+n^2}}-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right)$ có giá trị là

A. $2\sqrt{2}$

B. 3

C. $\frac{7}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Câu 24. Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ sao cho $f(-1)=2, f\left(4\right)=7$. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=5$ trên đoạn $[-1;4]$:

A. Có đúng một nghiệm.

B. Có đúng hai nghiệm.

C. Có ít nhất một nghiệm.

D. Vô nghiệm.

Câu 25. Tìm tập xác định D của hàm số $y=\log {\left(x-2\right)}^2+{\log }_2\left(-x^2+4x-3\right)$.

A. $\left[1;3\right]\backslash \left\{2\right\}.$

B. $D=\left(1;3\right)\backslash \left\{2\right\}.$

C. $D=\left(2;3\right).$

D. $D=\left(1;3\right).$

Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn $AB=3a, AD=DC=a.$ Tam giác SAB cân tại và SA = 2a. Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho $AM=x \left(0<x<a\right)$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M và song song với (SAB) lần lượt cắt các cạnh $BC,SC,SD$ tại $N,P,Q.$ Tìm x để tứ giác MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn.

A. $x=\frac{a}{4}.$

B. $x=\frac{2a}{3}.$

C. $x=\frac{a}{2}.$

D. $x=\frac{a}{3}.$

Câu 27. Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t(h) được cho bởi công thức $h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+12$. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

A. $t=22\left(h\right)$

B. $t=15\left(h\right)$

C. $t=10\left(h\right)$

D. $t=14\left(h\right)$

Câu 28. Biết rằng $S=1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+\cdots +11\cdot 3^{10}=a+\frac{21\cdot 3^b}{4}$. Tính $P=a+\frac{b}{4}$.

A. $P=2$

B. $P=3$

C. $P=1$

D. $P=4$

Câu 29. Cho a, b , c là các số thực dương thỏa $a^{{\log }_{3}7}=27, b^{{\log }_{7}11}=49, c^{{\log }_{11}25}=\sqrt{11}$. Tính giá trị biểu thức $T=a^{{\log }_3^{2}7}+b^{{\log }_7^{2}11}+c^{{\log }_{11}^{2}25}$.

A. $T=2017$

B. $T=76+\sqrt{11}$

C. $T=469$

D. $T=31141$

Câu 30. Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\left(AC{D}^{\text{'}}\right)\text{ // }\left(A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}B\right)$

B. $\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\text{ // }\left(CD{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$

C. $\left(B{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\text{ // }\left(ADC\right)$

D. $\left(BD{A}^{\text{'}}\right)\text{ // }\left(D^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C\right)$

Câu 31. Hai xạ thủ Toàn và Tình cùng bắn vào mục tiêu (bia) một cách độc lập. Xác suất bắn trúng của xạ thủ Toàn là 0,7. Biết rằng xác suất có ít nhất một người bắn trúng bia là 0,94. Xác suất bắn trúng của xạ thủ Tình là

A. 0,7

B. 0,8

C. 0,6

D. 0,9

Câu 32. Biết hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}a{x}^2+bx-5\text{ khi }x\le 1\\ 2ax-3b\text{ khi }x>1\end{array}\right.$ liên tục tại x = 1. Tính giá trị của biểu thức $P=a-4b.$

A. $P=4.$

B. $P=5.$

C. $P=-5.$

D. $P=-4.$

Câu 33. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right.$. Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho $u_n\le 2047277$

A. $n=2020$

B. $n=2022$

C. $n=2023$

D. $n=2024$

Câu 34. Cho tứ diện ABCD và ba điểm $P,Q,R$ lần lượt lấy trên ba cạnh $AB, CD, BC$. Cho $PR//AC$ và $CQ=2QD$. Gọi giao điểm của AD và $\left(PQR\right)$ là S. Chọn khẳng định đúng?

A. $AD=3DS$

B. $AD=DS$

C. $AD=2DS$

D. $AS=3DS$

Câu 35. Trong một trò chơi, người chơi cần gieo cùng lúc ba con xúc xắc cân đối đồng chất; nếu được ít nhất hai con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4 thì người chơi đó thắng. Tính xác suất để trong 3 lần chơi, người đó thắng ít nhất 1 lần.

A. $\frac{11683}{19683}$

B. $\frac{386}{729}$

C. $\frac{2}{9}$

D. $\frac{7}{27}$

Câu 36. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng $a\sqrt{2}.$ Gọi M là trung điểm của SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (ABM) có diện tích bằng

A. $\frac{3a^2\sqrt{5}}{8}.$

B. $\frac{3a^2\sqrt{15}}{16}.$

C. $\frac{a^2\sqrt{15}}{16}.$

D. $\frac{3a^2\sqrt{5}}{16}.$

Câu 37. Giá trị của biểu thức $P=1+3+9+27+\mathrm{...}+3^{2n}$ tính theo n là:

A. $P=-\frac{1}{2}\left(1-3^n\right).$

B. $P=-\frac{1}{2}\left(1-3^{2n}\right).$

C. $P=\frac{1}{2}\left({3.3}^{2n}-1\right).$

D. $P=\frac{1}{2}\left(3^{2n}-1\right).$

Câu 38. Biết rằng $a+b=4$ và $\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{a}{1-x}-\frac{b}{1-x^3}\right)$ hữu hạn. Tính giới hạn $L=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{b}{1-x^3}-\frac{a}{1-x}\right).$

A. -2

B. 2

C. 1

D. -1

Câu 39. Cho A và B là hai biến cố thoả mãn $P\left(A\right)=\mathrm{0,3};P\left(B\right)=\mathrm{0,4}$ và $P\left(AB\right)=\mathrm{0,2.}$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai biến cố A và B không xung khắc và không độc lập.

B. Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

C. Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc.

D. Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nhưng không độc lập.

Câu 40. Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?

A. 1792

B. 1635

C. 3125

D. 2055

PHẦN II: TỰ LUẬN

Bài 1.  Giải các phương trình lượng giác sau

a) $\sin 2x-\cos 2x+\sin x+\cos x+1=0$.

b) Tìm m để PT $\sin 2x+\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-2=m$ (1) có nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{3\pi }{4}\right).$

Bài 2.  Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=2u_n+\frac{n+2}{n\left(n+1\right)},\forall n\ge 1\end{array}\right..$ Tính $u_{2024}.$

Bài 3.  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn $BC=2a, AD=a, AB=b$. Mặt bên SAD là tam giác đều. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua điểm M trên cạnh AB và song song với SA, BC cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Đặt $AM=x (0<x<b)$.

a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân.

b) Tính diện tích tứ giác thiết diện theo a, b và x. Tính giá trị lớn nhất của diện tích.

Bài 4.  Giải phương trình: ${\log }_{\sqrt{3}}\left(x-2\right)+{\log }_3{\left(x-4\right)}^2=0$.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm đề thi học sinh giỏi Toán lớp 11 hay khác:

• Đề thi học sinh giỏi Toán 11 Sở GD & ĐT cụm Tân Yên (Bắc Giang) năm 2023-2024

• Đề thi học sinh giỏi Toán 11 cụm huyện Yên Dũng (Bắc Giang) năm 2023-2024

• Đề thi học sinh giỏi Toán 11 trường THPT Vĩnh Lộc (Thanh Hóa) năm 2023-2024

• Đề thi học sinh giỏi Toán 11 Sở GD & ĐT tỉnh Quảng Nam năm 2023-2024

• Đề thi học sinh giỏi Toán 11 Sở GD & ĐT tỉnh Hà Nam năm 2023-2024

• Đề thi học sinh giỏi Toán 11 trường THPT Hà Đông - Hoài Đức (Hà Nội) năm 2023-2024

• Đề thi học sinh giỏi Toán 11 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (Bà Rịa - Vũng Tàu) năm 2023-2024

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---