Sách bài tập Toán 8 Bài 2: Hình thang

Sách bài tập Toán 8 Bài 2: Hình thang

Bài 11 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD), biết rằng A = 3D, B - C = 30^o.

Lời giải:

Ta có: hình thang ABCD có AB // CD ⇒ ∠A + ∠D = 180^o (hai góc trong cùng phía)

Ta có: ∠A = 3∠D (gt)

⇒ 3∠D + ∠D = 180^o ⇒ 4∠D = 180^o ⇒ ∠D = 45^o ⇒ ∠A = 3.45^o = 135^o

∠B + ∠C = 180^o (hai góc trong cùng phía)

∠B - ∠C = 30^o (gt)

⇒ 2∠B = 180^o + 30^o = 210^o ⇒ ∠B = 105^o

∠C = ∠B - 30^o = 105^o – 30^o = 75^o

Bài 12 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác của góc D. chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Lời giải:

ΔBCD có BC = CD (gt) nên ΔBCD cân tại C.

⇒ ∠B₁= ∠D₁(tính chất tam giác cân)

Mà ∠D₁= ∠D₂( Vì DB là tia phân giác của góc D)

Suy ra: ∠B₁= ∠D₂

Do đó: BC // AD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Vậy ABCD là hình thang.

Bài 13 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Xem các hình dưới và cho biết:

a. Tứ giác nào chỉ có một cặp cạnh song song?

b. Tứ giác nào có hai cặp cạnh song song?

c. Tứ giác nào là hình thang.

Lời giải:

a. Tứ giác 1 có một cặp cạnh song song.

b. Tứ giác 3 có hai cặp cạnh song song.

c. Tứ giác 1 và 3 là hình thang.

Bài 14 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc B và D của hình thang ABCD, biết rằng: ∠A = 60^o, ∠C = 130^o

Lời giải:

Trong hình thang ABCD, ta có A và C là hai góc đối nhau.

a. Trường hợp A và B là 2 góc kề với cạnh bên.

⇒ BC // AD

∠A + ∠B = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ ∠B = 180^o - ∠A = 180^o – 60^o = 120^o

∠C + ∠D = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ ∠D = 180^o - ∠C = 180^o – 130^o = 50^o

b. Trường hợp A và D là 2 góc kề với cạnh bên.

⇒ AB // CD

∠A + ∠D = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ ∠D = 180^o - ∠A = 180^o – 60^o = 120^o

∠C + ∠B = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ ∠B = 180^o - ∠C = 180^o – 130^o = 50^o

Bài 15 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất là hai góc tù, có nhiều nhất là hai góc nhọn.

Lời giải:

Xét hình thang ABCD có AB //CD.

Ta có:

* ∠A và ∠D là hai góc kề với cạnh bên

⇒ ∠A + ∠D = 180^o (2 góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.

* ∠B và ∠C là hai góc kề với cạnh bên

⇒ ∠B + ∠C = 180^o (2 góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.

Vậy trong bốn góc là A, B, C, D có nhiều nhất là hai góc tù và có nhiều nhất là hai góc nhọn.

Bài 16 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong hình thang các tia phân giác của hai góc kề với một cạnh bên vuông góc với nhau.

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD

* Ta có: ∠A₁= ∠A₂= 1/2 ∠A (vì AE là tia phân giác của góc A)

∠D₁= ∠D₂= 1/2 ∠D ( Vì DE là tia phân giác của góc D)

Mà ∠A + ∠D = 180^o (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra: ∠A₁+ ∠D₁= 1/2 (∠A + ∠D) = 90^o

* Trong ΔAED, ta có:

∠(AED) + ∠A₁+ ∠D₁= 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

⇒ ∠(AED) = 180^o – (∠A₁+ ∠D₁) = 180^o - 90^o = 90^o

Vậy AE ⊥ DE.

Bài 17 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC ở D và E.

a. Tìm các hình thang trong hình vẽ.

b. Chứng minh rằng hình thang BDEC có một đáy bằng tổng hai cạnh bên.

Lời giải:

a. Đường thẳng đi qua I song song với BC cắt AB tại D và AC tại E, ta có các hình thang sau: BDEC, BDIC, BIEC

b. DE // BC (theo cách vẽ)

⇒ ∠I₁= ∠B₁(hai góc so le trong)

Mà ∠B₁= ∠B₂(gt)

Suy ra: ∠I₁= ∠B₂

Do đó: ΔBDI cân tại D ⇒ DI = DB (1)

Ta có: ∠I₂= ∠C₁(so le trong)

∠C₁= ∠C₂(gt)

Suy ra: ∠I₂= ∠C₂do đó: ΔCEI cân tại E

⇒ IE = EC (2)

DE = DI + IE (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: DE = BD + CE

Bài 18 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác BCD vuông cân tại B. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Vì ΔABC vuông cân tại A nên

Lại có: ( tính chất tam giác vuông).

Suy ra: ∠C₁= 45^o

Vì ΔBCD vuông cân tại B nên

Lại có: ( tính chất tam giác vuông).

Suy ra: ∠C₂= 45^o

∠(ACD) = ∠C₁+ ∠C₂= 45^o + 45^o = 90^o

⇒ AC ⊥ CD

Mà AC ⊥ AB (gt)

Suy ra: AB //CD

Vậy tứ giác ABCD là hình thang vuông.

Bài 19 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang vuông ABCD có ∠A = ∠D = 90^o, AB = AD = 2cm, DC = 4cm. Tính các góc của hình thang.

Lời giải:

Kẻ BH ⊥ CD

Ta có: AD ⊥ CD ( Vì ABCD là hình thang vuông có ∠A = ∠D = 90^o )

Suy ra: BH // AD

Hình thang ABHD có hai cạnh bên song song nên HD = AB và BH = AD

AB = AD = 2cm (gt)

⇒ BH = HD = 2cm

CH = CD – HD = 4 – 2 = 2 (cm)

Suy ra: ΔBHC vuông cân tại H

⇒ ∠C = 45^o

∠B + ∠C = 180^o (2 góc trong cùng phía bù nhau) ⇒ ∠B = 180^o – 45^o = 135^o

Bài 20 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu của hai đáy.

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD

Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E.

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED và AD = BE

Ta có: CD – AB = CD – ED = EC (1)

Trong ΔBEC ta có:

BE + BC > EC (bất đẳng thức tam giác)

Mà BE = AD

Suy ra: AD + BC > EC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD + BC > CD – AB

Bài 21 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Trên hình vẽ dưới có bao nhiêu hình thang.

Lời giải:

Trên hình vẽ có tất cả 10 hình thang.

Đó là: ABCD, ABEF, ABGH, ABIK, DCEF, DCGH, DCIK, FEGH, FEIK, HGIK

Bài 2.1 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang ABCD (BC// AD) có ∠C = 3∠D. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. ∠(A ) = 45^o

B. ∠(B ) = 45^o

C. ∠(D ) = 45^o

D. ∠(D ) = 60^o

Lời giải:

Chọn C. (D ) = 45^o

Ta có : hình thang ABCD CÓ BC//AD

=> ∠(C )+ ∠(D )=180^o ( hai góc trong cùng phía bù nhau)

mà ∠C = 3∠D nên 3∠D+∠D=180^o =>∠D= 45^o

Bài 2.2 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang ABCD (AB // CD) có ∠A - ∠D = 40^o, ∠A = 2∠C . Tính các góc của hình thang

Lời giải:

Hình thang ABCD có AB // CD

⇒ có ∠A + ∠D = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

∠A - ∠D = 40^o (gt)

⇒ 2∠A = 220^o ⇒ ∠A = 110^o

∠D = ∠A - 40^o = 110^o – 40^o = 70^o

∠A = 2∠C (gt)

⇒ ∠C = ∠A /2 = 110^o : 2 = 55^o

∠B + ∠C = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ ∠B = 180^o- ∠C = 180^o – 55^o = 125^o

Bài 2.3 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2 cm. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác ACE vuông cân tại E.

a. Chứng minh rằng AECB là hình thang vuông

b. Tính các góc và các cạnh của hình thang AECB

Lời giải:

a. Tam giác ABC vuông cân tại A

⇒ ∠(ACB) = 45^o

Tam giác EAC vuông cân tại E

⇒ ∠(EAC) = 45^o

Suy ra: ∠(ACB) = ∠(EAC)

⇒ AE // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

nên tứ giác AECB là hình thang có ∠E = 90^o. Vậy AECB là hình thang vuông

b) ∠E = ∠(ECB) = 90^o, ∠B = 45^o

∠B + ∠(EAB) = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ ∠(EAB) = 180^o - ∠B = 180^o – 45^o = 135^o

Tam giác ABC vuông tại A. Theo định lí Py-ta-go ta có:

AB² + AC² = BC² mà AB = AC (gt)

⇒ 2AB²= BC² = 2² = 4

AB² = 2 ⇒ AB= √2(cm) ⇒ AC = √2 (cm)

Tam giác AEC vuông tại E. Theo định lí Py-ta-go ta có:

EA² + EC² = AC², mà EA = EC (gt)

⇒ 2EA² = AC² = 2

EA² = 1

⇒ EA = 1(cm) ⇒ EC = 1(cm)

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, chi tiết khác:

• Bài 3: Hình thang cân
• Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang
• Bài 5: Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang
• Bài 6: Đối xứng trục

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập sgk Toán 8
• Lý thuyết & 700 Bài tập Toán 8 (có đáp án)
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---