Sách bài tập Toán 8 Bài 1: Tứ giác

Sách bài tập Toán 8 Bài 1: Tứ giác

Bài 1 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tai mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).

Lời giải:

Ta có: ∠A₁ + ∠B₁ + ∠C₁ + ∠D₁ = 360^o (tổng các góc của tứ giác)

+) Lại có: ∠A₁ + ∠A₂ = 180^o ( hai góc kề bù).

∠B₁ + ∠B₂ = 180^o (hai góc kề bù)

∠C₁ + ∠C₂ = 180^o (hai góc kề bù)

∠D₁ + ∠D₂ = 180^o (hai góc kề bù)

Suy ra: ∠A₁ + ∠A₂ + ∠B₁ + ∠B₂ + ∠C₁ + ∠C₂ + ∠D₁ + ∠D₂ = 180^o.4 = 720^o

⇒ ∠A₂ + ∠B₂ + ∠C₂ + ∠D₂ = 720^o – (∠A₁ + ∠B₁ + ∠C₁ + ∠D₁)

= 720^o – 360^o = 360^o

Bài 2 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA.

a. Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC.

b. Cho biết B = 100^o, D = 70^o, tính góc A và góc C.

Lời giải:

a. Ta có: BA = BC (gt). Suy ra điểm B thuộc đường trung trực của AC.

Lại có: DA = DC (gt). Suy ra điểm D thuộc đường trung trực của AC.

Vì B và D là 2 điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC.

b. Xét ΔBAD và ΔBCD, ta có:

BA = BC (gt)

DA = DC (gt)

BD cạnh chung

Suy ra: ΔBAD = ΔBCD (c.c.c)

⇒ ∠(BAD) = ∠(BCD)

Mặt khác, ta có: ∠(BAD) + ∠(BCD) + ∠(ABC) + ∠(ADC) = 360^o

Suy ra: ∠(BAD) + ∠(BCD) = 360^o – (∠(ABC) + ∠(ADC) )

2∠(BAD) = 360^o – (100^o + 70^o) = 190^o

⇒ ∠(BAD) = 190^o : 2 = 95^o

⇒ ∠(BCD) = ∠(BAD) = 95^o

Bài 3 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác

Lời giải:

- Vẽ tam giác ABD

      + Vẽ cạnh AD dài 4cm

      + Tại A vẽ cung tròn tâm A bán kính 2,5cm

      + Tại D vẽ cung tròn tâm D bán kính 3cm

      + Hai cung tròn cắt nhau tại B

⇒ Ta được tam giác ABD

- Vẽ tam giác DBC

      + Dùng thước đo độ vẽ tia Bx sao cho góc DBx = 60^o

      + Trên Bx xác định C sao cho BC = 3cm

⇒ Ta được tam giác BDC

⇒Ta được tứ giác ABCD cần vẽ

Bài 4 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của tứ giác ABCD, biết rằng: ∠A: ∠B: ∠C: ∠D= 1 : 2 : 3 : 4

Lời giải:

Theo bài ra, ta có:

∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D= 360^o (tổng các góc của tứ giác)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Vậy: ∠A= 1.36^o = 36^o;            ∠B= 2.36^o = 72^o;

      ∠C= 3.36^o = 108^o ;            ∠D= 4.36^o = 144^o.

Bài 5 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có ∠A = 65^o, ∠B = 117^o, ∠C = 71^o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.

Lời giải:

Trong tứ giác ABCD, ta có:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360^o (tổng các góc của tứ giác)

⇒ ∠D = 360^o – (∠A + ∠B + ∠C )

= 360^o – (65^o + 117^o + 71^o) = 107^o

∠D + ∠D₁ = 180^o (2 góc kề bù) ⇒ ∠D₁ = 180^o - ∠D = 180^o – 107^o = 73^o

Bài 6 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Lời giải:

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn ( tức là mỗi góc có số đo nhỏ hơn 90^o) thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn:

90^o + 90^o+ 90^o+ 90^o = 360^o.

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc tù ( tức là mỗi góc có số đo lớn hơn 90^o) thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn:

90^o+ 90^o+90^o+90^o = 360^o.

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.

Bài 7 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D.

Lời giải:

* Gọi ∠A₁, ∠C₁là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C, ∠A₂, ∠C₂là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có: ∠A₁+ ∠A₂ = 180^o (2 góc kề bù)

⇒ ∠A₂= 180^o - ∠A₁

∠C₁+ ∠C₂= 180^o (2 góc kề bù) ⇒ ∠C₂= 180^o - ∠C₁

Suy ra: ∠A₂+ ∠C₂= 180^o - ∠A₁+ 180^o - ∠C₁= 360^o – (∠A₁ + ∠C₁) (1)

* Trong tứ giác ABCD ta có:

∠A₁+ B + ∠C₁ + ∠D = 360^o (tổng các góc của tứ giác)

⇒ ∠B + ∠D = 360^o - (∠A₁ + ∠C₁) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠A₂+ ∠C₂ = ∠B + ∠D

Bài 8 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có A = 110^o, B = 100^o. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính .

Lời giải:

Trong tứ giác ABCD, ta có: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360^o

⇒ ∠C + ∠D = 360^o - (∠A + ∠B) = 360^o – (110^o + 100^o) = 150^o

Do DE và CE lần lượt là tia phân giác của góc

Trong ΔCED ta có:

∠CED = 180^o – (∠C₁ + ∠D₁) = 180^o – 75^o = 105^o

DE ⊥ DF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ ∠EDF = 90^o

CE ⊥ CF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ ∠ECF = 90^o

Trong tứ giác CEDF, ta có: ∠DEC + ∠EDF + ∠DFC + ∠ECF = 360^o

⇒ ∠DFC = 360^o - (∠DEC + ∠EDF + ∠ECF) = 360^o - (105^o - 90^o - 90^o) = 75^o

Bài 9 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

* Trong ΔOAB, ta có:

OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)

* Trong ΔOCD, ta có:

OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng từng vế (1) và (2):

OA + OB + OC + OD > AB + CD

⇒ AC + BD > AB + CD

Bài 10 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

Lời giải:

Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.

* Trong ΔOAB, ta có:

OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)

* Trong ΔOCD, ta có:

OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)

* Trong ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)

* Trong ΔOBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d

* Trong ΔABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)

* Trong ΔADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2AC < a + b + c + d

* Trong ΔABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)

* Trong ΔBCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2BD < a + b + c + d

Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d

Bài 1.1 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có ∠B = ∠A + 10^o , ∠C = ∠B + 10^o , ∠D = ∠C + 10^o. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. ∠A = 65^o

B. ∠B = 85^o

C. ∠C = 100^o

D. ∠D = 90^o

Lời giải:

Chọn B

Mà ∠B = ∠A + 10^o (2)

nên từ (1) và (2) =>∠C-10^o=∠A + 10^o => ∠C=∠A+20^o

Ta có: ∠D=∠C+10^o=> ∠D=∠A+20^o+10^o =>∠D=∠A+30^o

Ta có : ∠A+∠B+∠C+∠D=360^o ( tổng bốn góc của tứ giác)

=> ∠A+ ∠A + 10^o +∠A +20^o+∠A+30^o=360^o

=> 4∠A + 60^o = 360^o

Do đó: ∠A=75^o

=>∠B = ∠A + 10^o =85^o

=>∠C=∠A+20^o=95^o

=>∠D=∠A+30^o=105^o

Bài 1.2 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có ∠C = 60^o, ∠D = 80^o, ∠A - ∠B = 10^o. Tính số đo các góc A và B.

Lời giải:

Tổng bốn góc của 1 tứ giác bằng 360^o nên: ∠A + ∠B + ∠C +∠D =360^o

Suy ra: ∠A + ∠B = 360^o – (∠C +∠D) hay

∠A + ∠B = 360^o - (60^o + 80^o) = 220^o

Mà ∠A - ∠B = 10^o

Vậy ∠A = = 115^o, ∠B = 115^o - 10^o = 105^o

Bài 1.3 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có chu vi 66cm. Tính độ dài AC, biết chu vi tam giác ABC bằng 56cm, chu vi tam giác ACD bằng 60cm

Lời giải:

+) Chu vi tứ giác ABCD là: AB + BC + CD + DA = 66 cm (1)

+) Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + CA = 56 cm (2)

+) Chu vi tam giác ACD là: AC + CD + AD = 60 cm (3)

Lấy (2) +(3) –(1) vế vế ta được:

(AB +BC + CA) +(AC+CD + AD) – (AB + BC + CD + DA) = 56 + 60 – 66

Hay 2AC = 50 nên AC = 25 cm

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, chi tiết khác:

• Bài 2: Hình thang
• Bài 3: Hình thang cân
• Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang
• Bài 5: Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập sgk Toán 8
• Lý thuyết & 700 Bài tập Toán 8 (có đáp án)
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---