Giải bài 14 trang 20 SGK Hình Học 12 nâng cao

---

---

Bài 3: Phép vi tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều

Bài 14 (trang 20 sgk Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng:

a) Tâm các mặt của khối lập phương cho trước là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

b) Tâm các mặt của một khối tám mặt đều cho trước là các đỉnh của khối lập phương.

Lời giải:

a) Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O₁, O₂,O₃,O₄,O₅,O₆ lần lượt là tâm của các mặt phẳng ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D.

Ta có: O₁ là trung điểm của BD, O₃ là trung điểm của A’B’ nên:

Tương tự: O₁O₄ = O₁O₅ = O₁O₆ = O₃O₄ = O₄O₅ = O₅O₆ = O₁O₆ = O₃O₄ = O₄O₅ = O₅O₆ = O₆O₃ = O₂O₃ = O₂O₄ = O₂O₅ = O₂O₆ = (a√2)/2

Do đó, các tam giác O₁O₃O₆; O₁O₆O₅; O₁O₅O₄; O₁O₃O₄; O₂O₃O₆; O₂O₆O₅; O₂O₅O₄; O₂O₃O₄ là các tam giác đều cạnh

Chúng làm thành khối tám mặt đều (đpcm).

b) Xét khối tám mặt đều ABCDEF. Gọi O₁, O₂,O₃,O₄,O₅,O₆, O₇, O₈ lần lượt là trọng tâm của các mặt EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCD, FDA.

- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Ta có: O₁,O₂ là trọng tâm ΔEAB, EBC nên:

=> O₁ O₂ // MN

=> O₁ O₂ // O₃ O₄ và O₁ O₂ = O₃ O₄

=> Tứ giác O₁ O₂ O₃ O₄ là hình bình hành.

Lại có: O₁ O₄ // BD, O₁ O₄=BD/3 kết hợp (*) và lưu ý rằng.

AC = DB, AC ⊥ BD => O₁ O₂=O₁ O₄, O₁ O₂ ⊥ O₁ O₄ nên tứ giác O₁ O₂ O₃ O₄ là hình vuông.

- Hoàn toàn tương ứng ta có: O₁ O₂ O₆ O₅,O₂ O₃ O₇ O₆,O₃ O₄,O₈ O₇,O₄ O₁ O₅ O₈,O₅ O₆ O₇ O₈ là các hình vuông.

Vậy O₁, O₂,O₃,O₄,O₅,O₆, O₇, O₈ là các đỉnh của một khối lập phương.

Các bài giải bài tập Hình Học 12 nâng cao Bài 3 Chương 1 khác:

• Bài 11 (trang 20 SGK Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường....

• Bài 12 (trang 20 SGK Hình Học 12 nâng cao): Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng:...

• Bài 13 (trang 20 SGK Hình Học 12 nâng cao): Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là...

• Bài 14 (trang 20 SGK Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng: a) Tâm các mặt của một khối...

---

---

---