Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x0 = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2....

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = |x – 2|.

• Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 2.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x – 2) – (x – 2) = ∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=1.$

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }1=1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

• Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (2 – x – ∆x) – (2 – x) = –∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{-\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=-1.$

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-1\right)=-1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

• Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có: ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = |2 + ∆x – 2| – |2 – 2| = ∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{\left|\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}$.

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=1.$

             $\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{\left|\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{-\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=-1.$

Do đó, không tồn tại $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}f}{\text{Δ}x}$ nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2.

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm hay khác:

• Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm x₀ là f’(x₀). Phát biểu nào sau đây là đúng?....

• Bài 2 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t)....

• Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:....

• Bài 4 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là: ....

• Bài 5 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t₀ là:....

• Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:a) f(x) = x + 2;....

• Bài 8 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x³ có đồ thị (C).a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –1.....

• Bài 9 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là $s\left(t\right)=\frac{1}{2}g{t}^2,$ trong đó g = 9,8 m/s².....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

• SBT Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• SBT Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---