Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau y = (5x-2+1)/(x+3)

Trang trước Trang sau

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 64 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = 5 x - 2 + \frac{1}{x + 3}$ ;

b) $y = - 7 x + \frac{x - 1}{x^{2}}$ ;

c) $y = \frac{x^{2} + 2 x}{- x + 2}$ ;

d) $y = \frac{2 x^{2} + 9 x}{x + 1} .$

Quảng cáo

Lời giải:

a) $y = 5 x - 2 + \frac{1}{x + 3}$

Tập xác định: D = ℝ\{−3}.

Ta có: $\lim_{x \to - 3^{-}}$ y = $\lim_{x \to - 3^{-}}$ $(5 x - 2 + \frac{1}{x + 3})$ = −∞, $\lim_{x \to - 3^{+}}$ y = $\lim_{x \to - 3^{+}}$ $(5 x - 2 + \frac{1}{x + 3})$ = +∞.

Do đó, đường thẳng x = −3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\lim_{x \to - \infty}$ [y – (5x – 2)] = $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{1}{x + 3}$ = 0, $\lim_{x \to + \infty}$ [y – (5x – 2)] = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{1}{x + 3}$ = 0.

Do đó, đường thẳng y = 5x – 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

b) $y = - 7 x + \frac{x - 1}{x^{2}}$

Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: $\lim_{x \to 0^{+}}$ y = $\lim_{x \to 0^{+}}$ $(- 7 x + \frac{x - 1}{x^{2}})$ = −∞, $\lim_{x \to 0^{-}}$ y = $\lim_{x \to 0^{-}}$ $(- 7 x + \frac{x - 1}{x^{2}})$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\lim_{x \to - \infty}$ [y – (−7x)] = $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{x - 1}{x^{2}}$ = 0, $\lim_{x \to + \infty}$ [y – (−7x)] = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{x - 1}{x^{2}}$ = 0.

Do đó, đường thẳng y = −7x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

c) $y = \frac{x^{2} + 2 x}{- x + 2}$

Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có: $\lim_{x \to 2^{+}}$ y = $\lim_{x \to 2^{+}}$ $\frac{x^{2} + 2 x}{- x + 2}$ = −∞, $\lim_{x \to 2^{-}}$ y = $\lim_{x \to 2^{-}}$ $\frac{x^{2} + 2 x}{- x + 2}$ = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{y}{x}$ = $\lim_{x \to - \infty}$ $(\frac{x^{2} + 2 x}{(- x + 2) x})$ = $\lim_{x \to - \infty}$ $(\frac{x^{2} + 2 x}{- x^{2} + 2 x})$ = −1.

$\lim_{x \to - \infty}$ = $\lim_{x \to - \infty}$ $(\frac{x^{2} + 2 x}{- x + 2} + x)$ = −4.

Đường thẳng y = −x – 4 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

d) $y = \frac{2 x^{2} + 9 x}{x + 1} .$

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Ta có: $\lim_{x \to - 1^{-}}$ y = $\lim_{x \to - 1^{-}}$ $\frac{2 x^{2} + 9 x}{x + 1}$ = +∞, $\lim_{x \to - 1^{+}}$ y = $\lim_{x \to - 1^{+}}$ $\frac{2 x^{2} + 9 x}{x + 1}$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = −1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{y}{x}$ = $\lim_{x \to - \infty}$ $(\frac{2 x^{2} + 9 x}{(x + 1) x})$ = $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{2 x^{2} + 9 x}{x^{2} + x}$ = 2.