Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau y = (3x+5)/(x^2-4)

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 65 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$ ;

b) $y = \frac{- x^{2} - 1}{4 x^{2} + 9}$ ;

c) $y = \frac{3 x^{2} + x}{1 - x} .$

Quảng cáo

Lời giải:

a) $y = \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{±2}.

Ta có: $\lim_{x \to - \infty}$ y = $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$ = 0 , $\lim_{x \to + \infty}$ y = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$ = 0.

Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\lim_{x \to 2^{-}}$ y = $\lim_{x \to 2^{-}}$ $\frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$ = −∞, $\lim_{x \to 2^{+}}$ y = $\lim_{x \to 2^{+}}$ $\frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$ = +∞.

$\lim_{x \to - 2^{-}}$ y = $\lim_{x \to - 2^{-}}$ $\frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$ = −∞, $\lim_{x \to - 2^{+}}$ y = $\lim_{x \to - 2^{+}}$ $\frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$ = +∞.

Vậy các đường thẳng x = 2 và x = −2 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

b) $y = \frac{- x^{2} - 1}{4 x^{2} + 9}$

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ.

Ta có: $\lim_{x \to - \infty}$ y = $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{- x^{2} - 1}{4 x^{2} + 9}$ = $\frac{- 1}{4}$ , $\lim_{x \to + \infty}$ y = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{- x^{2} - 1}{4 x^{2} + 9}$ = $\frac{- 1}{4}$ .

Vậy đường thẳng y = $\frac{- 1}{4}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) $y = \frac{3 x^{2} + x}{1 - x} .$

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: $\lim_{x \to 1^{-}}$ y = $\lim_{x \to 1^{-}}$ $\frac{3 x^{2} + x}{1 - x}$ = +∞, $\lim_{x \to 1^{+}}$ y = $\lim_{x \to 1^{+}}$ $\frac{3 x^{2} + x}{1 - x}$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{y}{x}$ = $\lim_{x \to - \infty}$ $(\frac{3 x^{2} + x}{(1 - x) x})$ = $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{3 x^{2} + x}{x - x^{2}}$ = −3.