Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5) trang 63 SBT Toán 12 Tập 2

Trang trước Trang sau

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5

Bài 13 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5).

Quảng cáo

a) Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (3; 1; 1)$ , $\vec{A C} = (4; 2; 4)$

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 4; 1)$

c) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

d) Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d: $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 4} = \frac{z + 1}{1} .$

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5) nên có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (3; 1; 1), \vec{A C} = (4; 2; 4)$

Ta có: $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}] = (|\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 4 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}|) = (2; - 8; 2) = 2 (1; - 4; 1)$

Vậy $\vec{n} = (1; - 4; 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1(x – 0) – 4(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 4y + z + 3 = 0.

Thay điểm M(1; 2; 4) vào (P), ta được: 1 – 4.2 + 4 + 3 = 0.

Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

Đường thẳng d: $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 4} = \frac{z + 1}{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - 4; 1)$

Ta có: α = sin(d, (P)) = $|\cos (\vec{u}, \vec{n})|$

$= \frac{|\vec{u} . \vec{n}|}{|\vec{u}| . |\vec{n}|} = \frac{|1.1 + (- 4) . (- 4) + 1.1|}{\sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2} + 1^{2}}} = 1$