Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90°), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H
Giải SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông - Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:
a) ;
b) BH = CH;
c) Tam giác BOC vuông cân;
d) MNPQ là hình vuông.
Lời giải:
Chú ý: Câu c bổ sung dữ kiện “O là giao điểm của BP và CN”.
a) Ta có:
∆ABD vuông tại D (do BD là đường cao ∆ABC), suy ra ;
∆AEC vuông tại E (do CE là đường cao ∆ABC), suy ra .
Do đó .
b) ∆ABC cân tại A nên .
Mà (theo câu a).
Suy ra hay .
Do đó ∆HBC cân tại H nên BH = CH.
c) Ta có (do BP là tia phân giác ) và (do CN là tia phân giác )
Mà , suy ra .
∆OBC có , nên hay .
Suy ra ∆OBC cân tại O (1)
Mặt khác, vì (cùng bằng ) nên ta có
.
Mà
Suy ra .
Do đó tam giác OBC vuông tại O (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆OBC vuông cân tại O.
d) ∆OBC cân tại O nên OB = OC. (3)
Xét ∆BMH và ∆CQH có:
(theo câu b);
BH = CH (do ∆HBC cân tại H);
(hai góc đối đỉnh).
Do đó ∆BMH= ∆CQH (g.c.g).
Suy ra BM = CQ. (4)
Từ (3) và (4) suy ra OB ‒ BM = OC ‒ CQ hay OM = OQ. (5)
Mà ∆BNQ có BO là đường cao cũng đường phân giác nên ∆BNQ cân tại B.
Suy ra BO cũng là đường trung tuyến, nên O là trung điểm của QN hay ON = OQ.(6)
Chứng minh tương tự, ta được OP = OM. (7)
Từ (5), (6), (7) suy ra OM = ON = OQ = OP.
Khi đó ON + OQ = OM + OP hay NQ = MP.
Xét tứ giác MNPQ có: OM = OP và OQ = ON nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Mà NQ = MP nên MNPQ là hình chữ nhật.
Ta lại có MP ⊥ NP tại O nên MNPQ là hình vuông.
Lời giải SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông hay khác:
Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn SALE shopee tháng này:
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Giải SBT Toán 8 Tập 1 & Tập 2 hay, chi tiết của chúng tôi được biên soạn bám sát Sách bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo (NXB Giáo dục).
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST