Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích và một thương

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Bài 32 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích và một thương, hãy rút gọn biểu thức:

Quảng cáo

Lời giải:

a) $\sqrt{98 x^{2}} \cdot \sqrt{y^{3}} = \sqrt{49 \cdot 2 \cdot x^{2}} \cdot \sqrt{y^{2} \cdot y}$

$= 7 \cdot |x| \cdot \sqrt{2} \cdot |y| \cdot \sqrt{y}$

$= - 7 x y \sqrt{2 y}$ (do x < 0, y ≥ 0).

b) $\sqrt{x^{3} {(x - 1)}^{2}} = \sqrt{x^{2} \cdot x \cdot {(x - 1)}^{2}} = |x| \cdot |x - 1| \cdot \sqrt{x} .$

Do x ≥ 1 nên x ‒ 1 ≥ 0, do đó |x – 1| = x – 1.

Vậy $\sqrt{x^{3} {(x - 1)}^{2}} = |x| \cdot |x - 1| \cdot \sqrt{x} = x (x - 1) \sqrt{x} .$

c) $\sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{{(x - 7)}^{2}} = \sqrt{{(x^{2})}^{2}} \cdot |x - 7| = |x^{2}| \cdot |x - 7| = x^{2} \cdot |x - 7|$ (do x² > 0 với mọi x > 7).

Do x > 7 nên x ‒ 7 > 0, do đó |x – 7| = x – 7.

Vậy $\sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{{(x - 7)}^{2}} = x^{2} \cdot |x - 7| = x^{2} (x - 7) .$

d) $\sqrt{\frac{x^{2}}{36 - 12 x + x^{2}}} = \sqrt{\frac{x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}} = \sqrt{{(\frac{x}{x - 6})}^{2}} = |\frac{x}{x - 6}| .$

Do x > 6 > 0 nên x ‒ 6 > 0, do đó $\frac{x}{x - 6} > 0,$ suy ra $|\frac{x}{x - 6}| = \frac{x}{x - 6} .$

Vậy $\sqrt{\frac{x^{2}}{36 - 12 x + x^{2}}} = |\frac{x}{x - 6}| = \frac{x}{x - 6} .$

e) $\frac{\sqrt{1 250 {(x - 5)}^{3}}}{\sqrt{2 {(x - 5)}^{5}}} = \sqrt{\frac{1 250 {(x - 5)}^{3}}{2 {(x - 5)}^{5}}}$

$= \sqrt{\frac{625}{{(x - 5)}^{2}}} = \sqrt{\frac{25^{2}}{{(x - 5)}^{2}}} = \sqrt{{(\frac{25}{x - 5})}^{2}} = |\frac{25}{x - 5}| .$

Do x < 5 nên x ‒ 5 < 0, do đó $\frac{25}{x - 5} < 0,$ suy ra $|\frac{25}{x - 5}| = - \frac{25}{x - 5} = \frac{25}{5 - x} .$

Vậy $\frac{\sqrt{1250 {(x - 5)}^{3}}}{\sqrt{2 {(x - 5)}^{5}}} = |\frac{25}{x - 5}| = \frac{25}{5 - x} .$

g) $\sqrt{\frac{1 + x - 2 \sqrt{x}}{1 + x + 2 \sqrt{x}}} = \sqrt{\frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1})}^{2}}$