(Ôn thi Viên chức THCS) Bộ chuyên đề ôn Toán cấp THCS

Trang trước Trang sau

Bộ chuyên đề ôn Toán cấp THCS trong bộ tài liệu ôn thi viên chức Giáo viên Toán THCS 2026 giúp bạn ôn luyện để tự tin bước vào kì thi tuyển viên chức Giáo viên Toán.

Tài liệu ôn thi viên chức Giáo viên Toán THCS 2026

(Ôn thi Viên chức THCS) Bộ chuyên đề ôn Toán cấp THCS

Giáo viên quan tâm Tài liệu ôn thi viên chức Giáo viên Toán THCS 2026 đầy đủ vòng 2, có đáp án, chuẩn kiến thức, trình bày đẹp mắt, dễ dàng chỉnh sửa mời Xem thử.

Quảng cáo

Chuyên đề 1: Biến đổi đại số

1.1 CĂN THỨC BẬC 2

Kiến thức cần nhớ:

• Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho $x^{2} = a$ .

• Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là $\sqrt{a}$ là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a:

(Ôn thi Viên chức THCS) Bộ chuyên đề ôn Toán cấp THCS

• Với hai số thực không âm a, b ta có: $\sqrt{a} \leq \sqrt{b} \Leftrightarrow a \leq b$ .

• Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:

+ $\sqrt{A^{2}} = |A| = \{\begin{cases} A \\ - A \end{cases}$ nếu $\begin{array}{l} A \geq 0 \\ A < 0 \end{array}$

+ $\sqrt{A^{2} B} = |A| \sqrt{B} = A \sqrt{B}$ với $A, B \geq 0$ ; $\sqrt{A^{2} B} = |A| \sqrt{B} = - A \sqrt{B}$ với $A < 0; B \geq 0$

+ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \sqrt{\frac{A . B}{B^{2}}} = \frac{\sqrt{A . B}}{|B|}$ với $A B \geq 0, B \neq 0$

Quảng cáo

+ $\frac{M}{\sqrt{A}} = \frac{M . \sqrt{A}}{A}$ với A > 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)

+ $\frac{M}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{M (\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B}$ với $A, B \geq 0, A \neq B$ (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)

1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.

1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.

Kiến thức cần nhớ:

• Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho $x^{3} = a$

• Cho $a \in R; \sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow x^{3} = {(\sqrt[3]{a})}^{3} = a$

• Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.

• Nếu a > 0 thì $\sqrt[3]{a} > 0$ .

• Nếu a < 0 thì $\sqrt[3]{a} < 0$ .

• Nếu a = 0 thì $\sqrt[3]{a} = 0$ .

• $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ với mọi $b \neq 0$ .

• $\sqrt[3]{a b} = \sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b}$ với mọi a, b.

• $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$ .

• $A \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{A^{3} B}$ .

• $\sqrt[3]{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt[3]{A B^{2}}}{B}$ với $B \neq 0$

Quảng cáo

• $\frac{\sqrt[3]{A}}{B} = \sqrt[3]{\frac{A}{B^{3}}}$

• $\frac{1}{\sqrt[3]{A} \pm \sqrt[3]{B}} = \frac{\sqrt[3]{A^{2}} \mp \sqrt[3]{A B} + \sqrt[3]{B^{2}}}{A \pm B}$ với $A \neq \pm B$ .

1.2.2CĂN THỨC BẬC n.

Cho số $a \in R, n \in N; n \geq 2$ . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.

• Trường hợp n là số lẻ: $n = 2 k + 1, k \in N$

Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:

$\sqrt[2 k + 1]{a} = x \Leftrightarrow x^{2 k + 1} = a$ , nếu a> 0 thì $\sqrt[2 k + 1]{a} > 0$ , nếu a < 0 thì $\sqrt[2 k + 1]{a} < 0$ , nếu a = 0 thì $\sqrt[2 k + 1]{a} = 0$

• Trường hợp n là số chẵn: $n = 2 k, k \in N$ .

Mọi số thực a > 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là $\sqrt[2 k]{a}$ (gọi là căn bậc 2k số học của a). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là $- \sqrt[2 k]{a}$ , $\sqrt[2 k]{a} = x \Leftrightarrow x \geq 0$ và $x^{2 k} = a$ ; $- \sqrt[2 k]{a} = x \Leftrightarrow x \leq 0$ và $x^{2 k} = a$ .

Mọi số thực a < 0 đều không có căn bậc chẵn.

Bài tập 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:

Quảng cáo

a) $P = x^{4} - 4$

b) $P = 8 x^{3} + 3 \sqrt{3}$

c) $P = x^{4} + x^{2} + 1$

Lời giải:

a) $P = (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) (x^{2} + 2)$

b) $P = {(2 x)}^{3} + {(\sqrt{3})}^{3} = (2 x + \sqrt{3}) (4 x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 3)$

c) $P = {(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2} = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + x + 1)$

Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức:

a) $A = \sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{x} + \frac{1}{4}}$ khi $x \geq 0$

b) $B = \sqrt{4 x - 2 \sqrt{4 x - 1}} + \sqrt{4 x + 2 \sqrt{4 x - 1}}$ khi $x \geq \frac{1}{4}$

c) $C = \sqrt{9 - \sqrt{5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{8 + 10 \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}}}}$

Lời giải:

a) $A = \sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{x} + \frac{1}{4}} = \sqrt{x} - \sqrt{{(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{x} - |\sqrt{x} - \frac{1}{2}|$

+ Nếu $\sqrt{x} \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{4}$ thì $|\sqrt{x} - \frac{1}{2}| = \sqrt{x} - \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{1}{2}$

+ Nếu $\sqrt{x} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \leq x < \frac{1}{4}$ thì $|\sqrt{x} - \frac{1}{2}| = - \sqrt{x} + \frac{1}{2} \Rightarrow A = 2 \sqrt{x} - \frac{1}{2}$

b) $B = \sqrt{4 x - 2 \sqrt{4 x - 1}} + \sqrt{4 x + 2 \sqrt{4 x - 1}}$ $= \sqrt{4 x - 1 - 2 \sqrt{4 x - 1} + 1} + \sqrt{4 x - 1 + 2 \sqrt{4 x - 1} + 1}$

hay $B = \sqrt{{(\sqrt{4 x - 1} - 1)}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{4 x - 1} + 1)}^{2}}$

$= |\sqrt{4 x - 1} - 1| + |\sqrt{4 x - 1} + 1|$

$= |\sqrt{4 x - 1} - 1| + \sqrt{4 x - 1} + 1$

+ Nếu $\sqrt{4 x - 1} - 1 \geq 0 \Leftrightarrow 4 x - 1 \geq 1 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$ thì $|\sqrt{4 x - 1} - 1| = \sqrt{4 x - 1} - 1$ suy ra $B = 2 \sqrt{4 x - 1}$

+ Nếu $\sqrt{4 x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow 4 x - 1 < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2}$ thì $|\sqrt{4 x - 1} - 1| = - \sqrt{4 x - 1} + 1$ suy ra B = 2

c) Để ý rằng: $7 - 4 \sqrt{3} = {(2 - \sqrt{3})}^{2} \Rightarrow \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$

Suy ra

$C = \sqrt{9 - \sqrt{5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{8 + 10 (2 - \sqrt{3})}}}$

$= \sqrt{9 - \sqrt{5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{28 - 10 \sqrt{3}}}}$

$= \sqrt{9 - \sqrt{5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{{(5 - \sqrt{3})}^{2}}}}$

Hay $C = \sqrt{9 - \sqrt{5 \sqrt{3} + 5 (5 - \sqrt{3})}} =$ $\sqrt{9 - \sqrt{25}} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2$

Bài tập 3: Chứng minh:

a) $A = \sqrt{7 - 2 \sqrt{6}} - \sqrt{7 + 2 \sqrt{6}}$ là số nguyên.

b) $B = \sqrt[3]{1 + \frac{\sqrt{84}}{9}} + \sqrt[3]{1 - \frac{\sqrt{84}}{9}}$ là một số nguyên

c) Chứng minh rằng: $x = \sqrt[3]{a + \frac{a + 1}{3} \sqrt{\frac{8 a - 1}{3}}} + \sqrt[3]{a - \frac{a + 1}{3} \sqrt{\frac{8 a - 1}{3}}}$ với $a \geq \frac{1}{8}$ là số tự nhiên.

d) Tính x + y biết $(x + \sqrt{x^{2} + 2015}) (y + \sqrt{y^{2} + 2015}) = 2015$ .

Lời giải:

a) Dễ thấy A < 0,

Ta có $A^{2} = {(\sqrt{7 - 2 \sqrt{6}} - \sqrt{7 + 2 \sqrt{6}})}^{2}$ $= 7 - 2 \sqrt{6} + 7 + 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7 - 2 \sqrt{6}} . \sqrt{7 + 2 \sqrt{6}}$ = 14 - 2.5 = 4

Suy ra A = -2.

b) Áp dụng hằng đẳng thức: ${(u + v)}^{3} = u^{3} + v^{3} + 3 u v (u + v)$ . Ta có:

$B^{3} = {(\sqrt[3]{1 + \frac{\sqrt{84}}{9}} + \sqrt[3]{1 - \frac{\sqrt{84}}{9}})}^{3}$ $= 1 + \frac{\sqrt{84}}{9} + 1 - \frac{\sqrt{84}}{9} + 3 (\sqrt[3]{1 + \frac{\sqrt{84}}{9}} . \sqrt[3]{1 - \frac{\sqrt{84}}{9}})$ $(\sqrt[3]{1 + \frac{\sqrt{84}}{9}} + \sqrt[3]{1 - \frac{\sqrt{84}}{9}})$ . Hay $B^{3} = 2 + 3 \sqrt[3]{(1 + \frac{\sqrt{84}}{9}) (1 - \frac{\sqrt{84}}{9})} . B$ $\Leftrightarrow B^{3} = 2 + 3 \sqrt[3]{1 - \frac{84}{81}} B$

$\Leftrightarrow B^{3} = 2 - B \Leftrightarrow B^{3} + B - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (B - 1) (B^{2} + B + 2) = 0$

mà $B^{2} + B + 2 = {(B + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0$ suy ra B = 1

Vậy B là số nguyên

c) Áp dụng hằng đẳng thức: ${(u + v)}^{3} = u^{3} + v^{3} + 3 u v (u + v)$

Ta có $x^{3} = 2 a + (1 - 2 a) x$

$\Leftrightarrow x^{3} + (2 a - 1) x - 2 a = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} + x + 2 a) = 0$

Xét đa thức bậc hai $x^{2} + x + 2 a$ với $Δ = 1 - 8 a \geq 0$

+ Khi $a = \frac{1}{8}$ ta có $x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} + \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = 1$ .

+ Khi $a > \frac{1}{8},$ ta có $Δ = 1 - 8 a$ âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x = 1. Vậy với mọi $a \geq \frac{1}{8}$ ta có: $x = \sqrt[3]{a + \frac{a + 1}{3} \sqrt{\frac{8 a - 1}{3}}} + \sqrt[3]{a - \frac{a + 1}{3} \sqrt{\frac{8 a - 1}{3}}} = 1$ là số tự nhiên.