Giải Toán 10 trang 92 Tập 1 Cánh diều

Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-11 trên Shopee mall

Với Giải Toán 10 trang 92 Tập 1 trong Bài 5: Tích của một số với một vectơ Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 92.

Giải Toán 10 trang 92 Tập 1 Cánh diều

Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\vec{M N} = 2 \vec{P Q}$ ;

B. $\vec{M Q} = 2 \vec{N P}$ ;

C. $\vec{M N} = - 2 \vec{P Q}$ ;

D. $\vec{M Q} = - 2 \vec{N P}$ .

Lời giải:

Quảng cáo

Đáp án đúng là: C.

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng

MNPQ là hình thang với MN // PQ nên hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{P Q}$ ngược hướng.

Mà MN = 2 PQ nên $\vec{M N} = - 2 \vec{P Q}$ .

Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Lời giải:

Quảng cáo

a) Ta có $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ , do đó $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ cùng hướng và AC = $\frac{1}{2} A B$ .

Suy ra A, B, C thẳng hàng, hơn nữa C là trung điểm của AB và AC = 3 cm.

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Xác định điểm C thỏa mãn

b) Ta có $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ , do đó $\vec{A D}$ và $\vec{A B}$ ngược hướng và AD = $\frac{1}{2}$ AB = 3 cm.

Suy ra A, B, D thẳng hàng; D và B nằm khác phía nhau so với A.

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Xác định điểm C thỏa mãn

Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ ;

b) $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Lời giải:

Quảng cáo

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh

a) Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: PN // = $\frac{1}{2}$ BC.

Khi đó hai vectơ $\vec{P N}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và PN = $\frac{1}{2}$ BC.

Suy ra: $\vec{P N} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

Do đó: $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A P} + \vec{P N} = \vec{A N}$ .

Vậy $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ .

b) M và P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên MP là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: MP // AC VÀ MP = $\frac{1}{2}$ AC.

Lại có hai vectơ $\vec{M P}$ và $\vec{C A}$ cùng hướng và MP = $\frac{1}{2}$ CA nên $\vec{M P} = \frac{1}{2} \vec{C A}$ hay $\vec{C A} = 2 \vec{M P}$ .

Khi đó ta có: $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{B A}$ .

Vậy $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B E}, \vec{A D}, \vec{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62)

Lời giải:

Quảng cáo

+ Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{A C} \\ = - \vec{A B} + \vec{A C} = - \vec{a} + \vec{b} \end{array}$

+ BD = DE = EC và D, E thuộc cạnh BC nên BD = $\frac{1}{3}$ BC.

Mà $\vec{B D}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng nên $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ .

Suy ra: $\vec{B D} = \frac{1}{3} (- \vec{a} + \vec{b}) = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Vậy $\vec{B D} = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

+ Hai vectơ $\vec{B E}, \vec{B C}$ cùng hướng và BE = $\frac{2}{3}$ BC nên $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ .

Suy ra: $\vec{B E} = \frac{2}{3} (- \vec{a} + \vec{b}) = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Vậy $\vec{B E} = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ .

+ Ta có:

$\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{a} + (- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}) = (1 - \frac{1}{3}) \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

Vậy $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

+ Ta có:

$\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{B E} = \vec{a} + (- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}) = (1 - \frac{2}{3}) \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$

Vậy $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ ;

b) $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ ;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Lời giải:

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G M}$ .

Tương tự N là trung điểm CD nên $\vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G N }$ .

Lại có G là trung điểm của MN nên $\vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$ .

Khi đó: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G M} + 2 \vec{G N} = 2 (\vec{G M} + \vec{G N}) = \vec{0}$

Ta có:

$\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D}$

$= (\vec{E G} + \vec{G A}) + (\vec{E G} + \vec{G B}) + (\vec{E G} + \vec{G C}) + (\vec{E G} + \vec{G D})$

$= 4 \vec{E G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})$

= $4 \vec{E G} + \vec{0}$

$= 4 \vec{E G}$ .

Vậy $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ .

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = \vec{0}$ .

Thay vào câu a) ta có: $\vec{E A} + \vec{0} = 4 \vec{E G}$

Vậy $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ .

c) Theo câu b ta có: $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ nên hai vectơ $\vec{E A}, \vec{E G}$ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG = $\frac{3}{4}$ AE.

Hai vectơ $\vec{A G}$ và $\vec{A E}$ cùng hướng.

Do đó: $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Lời giải:

Cho hình bình hành ABCD. Đặt vectơ AB = vectơ a, vectơ AD = vectơ b . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $B G = \frac{2}{3} B O$ .

Mà BO = $\frac{1}{2}$ BD nên $B G = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B D = \frac{1}{3} B D$ .

Hai vectơ $\vec{B G}, \vec{B D}$ cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$ BD.

Nên $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{B D}$ .

Ta có: $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B G} = \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B D}$

$= \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A D}) = \vec{A B} + \frac{1}{3} (- \vec{A B} + \vec{A D})$

$= (1 - \frac{1}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

$= \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

Do đó: $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Ta có: $\vec{C G} = \vec{C A} + \vec{A G} = (- \vec{A C}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{a} + \vec{b}) + (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b})$

$= (- 1 + \frac{2}{3}) \vec{a} + (- 1 + \frac{1}{3}) \vec{b}$

$= - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Vậy $\vec{C G} = - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}, \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}, \vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

a) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{A D}, \vec{D H}, \vec{H E}$ theo hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải:

Vì $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ nên $\vec{D B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và $D B = \frac{1}{3} B C$ .

$\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ nên $\vec{A E}, \vec{A C}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3} A C$ .

$\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ nên $\vec{A H}, \vec{A B}$ cùng hướng và $A H = \frac{2}{3} A B$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

a) + Ta có

$\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A B} + (- \vec{D B})$

Mà $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ .

Do đó:

$\vec{A D} = \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{B C}$

$= \vec{A B} - \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \vec{A B} - \frac{1}{3} (- \vec{A B}) - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Suy ra: $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

+ Ta có:

$\vec{D H} = \vec{D A} + \vec{A H} = (- \vec{A D}) + \vec{A H}$

Mà $\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ , $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Do đó:

$\vec{D H} = - (\frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}) + \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= (- \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}) + \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= (\frac{2}{3} - \frac{4}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

Vậy $\vec{D H} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

+ Ta có:

$\vec{H E} = \vec{H A} + \vec{A E}$

$= (- \vec{A H}) + \vec{A E}$

Mà $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ , $\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

Do đó:

$\vec{H E} = (- \frac{2}{3} \vec{A B}) + \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

Vậy $\vec{H E} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

b) Theo câu a, ta có: $\vec{D H} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ và $\vec{H E} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Do đó: $\vec{D H} = \vec{H E}$ .

Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.