Giải Toán 10 trang 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 10 trang 10 Tập 2 trong Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 10.

Giải Toán 10 trang 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Lời giải:

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ = - 2 và x₂ = $\frac{1}{2}$ . Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = - 2, x₂ = $\frac{1}{2}$ và a = 1 > 0.

Với x thuộc khoảng (-∞; -2) và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành hay f(x) > 0 khi x thuộc khoảng (-∞; -2) và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ .

Với x thuộc khoảng $\left(-2;\frac{1}{2}\right)$ thì đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành hay f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-2;\frac{1}{2}\right)$ .

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

b) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Do đó g(x) vô nghiệm và a = 1 > 0.

Hơn nữa toàn bộ đồ thị hàm số g(x) nằm phía trên trục hoành với mọi giá trị của x nên g(x) > 0 với mọi x.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số h(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = $-\frac{2}{3}$ . Do đó h(x) có nghiệm duy nhất x = $-\frac{2}{3}$ và a = - 9 < 0.

Với x = $-\frac{2}{3}$ thì h(x) = 0;

Với x ≠ $-\frac{2}{3}$ thì đồ thị hàm số h(x) nằm hoàn toàn dưới trục hoành nên h(x) < 0 với x ≠ $-\frac{2}{3}$ .

Khi đó ta có bảng xét dấu:

d) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Do đó f(x) vô nghiệm và a = -0,5 < 0.

Hơn nữa toàn bộ đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành với mọi giá trị của x nên f(x) < 0 với mọi x.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

e) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ = - 2 và x₂ = $\frac{3}{2}$ . Do đó g(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = - 2, x₂ = $\frac{3}{2}$ và a = -1 < 0.

Với x thuộc khoảng (-∞; -2) và $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành hay g(x) < 0 khi x thuộc khoảng (-∞; -2) và $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ .

Với x thuộc khoảng $\left(-2;\frac{3}{2}\right)$ thì đồ thị hàm số nằm trên trục hoành hay g(x) > 0 khi x ∈ $\left(-2;\frac{3}{2}\right)$ .

Ta có bảng xét dấu g(x) như sau:

g) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số h(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = $-\sqrt{2}$ . Do đó h(x) có nghiệm duy nhất x = $-\sqrt{2}$ và a = 1 > 0.

Với x = $-\sqrt{2}$ thì h(x) = 0;

Với x ≠ $-\sqrt{2}$ thì đồ thị hàm số h(x) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên h(x) > 0 với x ≠ $-\frac{2}{3}$ .

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Bài 4 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Xét dấu của tam thức bậc hai sau đây:

a) f(x) = 2x² + 4x + 2;

b) f(x) = - 3x² + 2x + 21;

c) f(x) = - 2x² + x – 2;

d) f(x) = -4x(x + 3) – 9;

e) f(x) = (2x + 5)(x – 3).

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 4x + 2 có ∆ = 4² – 4.2.2 = 16 – 16 = 0. Do đó f(x) có một nghiệm kép x₁ = x₂ = - 1 và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) = 2x² + 4x + 2 mang dấu dương khi x ≠ - 1.

b) Tam thức bậc hai f(x) = - 3x² + 2x + 21 có ∆ = 2² – 4.(-3).21 = 256 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = $-\frac{7}{3}$ và a = -3 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) = - 3x² + 2x + 21 dương khi x thuộc khoảng $\left(-\frac{7}{3};3\right)$ và f(x) = - 3x² + 2x + 21 âm khi x thuộc hai khoảng $\left(-\infty ;-\frac{7}{3}\right)$ và $\left(3;+\infty \right)$ .

c) Tam thức bậc hai f(x) = - 2x² + x – 2 có ∆ = 1² – 4.(-2).(-2) = 1 – 16 = -15 < 0. Do đó hàm số vô nghiệm và a = -2 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) = - 2x² + x – 2 âm với mọi giá trị thực của x.

d) Ta có f(x) = -4x(x + 3) – 9 = - 4x² – 12x – 9.

Xét tam thức f(x) = - 4x² – 12x – 9 có ∆ = (-12)² – 4.(-4)(-9) = 144 – 144 = 0. Do đó f(x) có nghiệm kép x₁ = x₂ = $-\frac{3}{2}$ và a = - 4 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) mang dấu âm khi x ≠ $-\frac{3}{2}$ .

e) Ta có f(x) = (2x + 5)(x – 3) = 2x² – 6x + 5x – 15 = 2x² – x – 15.

Tam thức f(x) = 2x² – x – 15 có ∆ = (-1)² – 4.2.(-15) = 1 + 120 = 121 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = $-\frac{5}{2}$ và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) = (2x + 5)(x – 3) âm khi x thuộc khoảng $\left(-\frac{5}{2};3\right)$ và f(x) = (2x + 5)(x – 3) dương khi x thuộc hai khoảng $\left(-\infty ;-\frac{5}{2}\right)$ và (3; +∞).

Bài 5 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số h(x) = - 0,1x² + x – 1. Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

Ta có h(x) = -0,1x² + x – 1 là tam thức bậc hai với a = -0,1, b = 1 và c = -1.

Tam thức bậc hai h(x) = -0,1x² + x – 1 có ∆ = 1² – 4.(-0,1).(-1) = 0,6 > 0. Do đó h(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 5 + $\sqrt{15}$ , x₂ = 5 – $\sqrt{15}$ và a = -0,1 < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra h(x) dương khi x thuộc khoảng (5 − $\sqrt{15}$; 5 + $\sqrt{15}$) và h(x) âm khi x thuộc hai khoảng (−∞; 5 − $\sqrt{15}$) và (5 + $\sqrt{15}$; +∞).

Dựa vào hình vẽ ta thấy trục Ox chính là vành rổ.

Ta có: 5 − $\sqrt{15}$ ≈ 1,1 và 5 + $\sqrt{15}$ ≈ 8,9.

Vậy với x thuộc khoảng (1,1; 8,9) thì bóng nằm cao hơn vành rổ và với x thuộc khoảng (– ∞;1,1) và (8,9 ; + ∞) thì bóng nằm thấp hơn vành rổ.

Bài 6 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20 cm và chiều rộng 15 cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước (20 + x) cm và (15 – x) cm. Với x nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Lời giải:

Diện tích khung dây thép hình chữ nhật ban đầu là: 20.15 = 300 (cm²).

Diện tích khung hình chữ nhật mới là: (20 + x)(15 – x) = 300 + 5x – x² (cm²).

Xét hiệu f(x) = 300 – 300 – 5x + x² = x² – 5x.

Ta có f(x) = x² – 35x là tam thức bậc hai có ∆ = (-35)² – 4.1.0 = 1 225 > 0. Do đó h(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 0, x₂ = -5 và a = 1 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) âm khi x thuộc khoảng (-5; 0), f(x) dương khi x thuộc hai khoảng (-∞; -5) và (0; +∞).

Vậy với x thuộc khoảng (-5; 0) thì diện tích của khung dây thép tăng lên, x thuộc hai khoảng (-∞; -5) và (0; +∞) thì diện tích của khung dây thép giảm đi, và x = - 5 hoặc x = 0 thì diện tích khung dây thép không đổi.

Bài 7 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có 9m² + 2m > - 3.

Lời giải:

Ta có: 9m² + 2m > - 3

⇔ 9m² + 2m + 3 > 0

Đặt f(m) = 9m² + 2m + 3

Ta thấy f(m) là tam thức bậc hai với a = 9, b = 2 và c = 3.

Ta có: ∆ = 2² – 4.9.3 = 4 – 108 = -104 < 0. Do đó f(m) vô nghiệm và a = 9 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy f(m) > 0 với mọi m

⇒ 9m² + 2m + 3 > 0 với mọi m hay 9m² + 2m > - 3 với mọi m.

Vậy 9m² + 2m > - 3 với mọi m.

Bài 8 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm giá trị của m để:

a) 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ;

b) mx² + 5x – 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Lời giải:

a) Xét f(x) = 2x² + 3x + m + 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 3, c = m + 1.

Ta có: ∆ = 3² – 4.2.(m + 1) = 9 – 8m – 8 = 1 – 8m.

Vì a = 2 > 0 nên để 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ thì ∆ < 0

⇔ 1 – 8m < 0

⇔ m > $\frac{1}{8}$.

Vậy với m > $\frac{1}{8}$thì 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) Xét g(x) = mx² + 5x – 3

+) Với m = 0 thì g(x) = 5x – 3

Ta có: 5x – 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{5}$.

Do đó với m = 0 không thỏa mãn.

+) Với m ≠ 0 thì g(x) = mx² + 5x – 3 là tam thức bậc hai với a = m, b = 5, c = - 3.

Ta có ∆ = 5² – 4.m.(-3) = 25 + 12m.

Để mx² + 5x – 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ thì

Vậy với $m\le -\frac{25}{12}$ thì mx² + 5x – 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ .

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai hay khác:

• Giải Toán 10 trang 6 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 7 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 8 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 9 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

• Toán 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

• Toán 10 Bài tập cuối chương 7

• Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

• Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---