Giải Toán 10 trang 62 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 10 trang 62 Tập 2 trong Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 62.

Giải Toán 10 trang 62 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0 tại điểm A(4; 6).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0

⇔ x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 25

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² = 5²

Suy ra phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(4; 6) là:

(1 – 4)(x – 4) + (2 – 6)(y – 6) = 0

⇔ - 3(x – 4) – 4(y – 6) = 0

⇔ 3x + 4y – 36 = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(4; 5) là: 3x + 4y – 36 = 0.

Vận dụng 3 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn (C) có phương trình:

(x – 1)² + (y – 1)² = $\frac{169}{144}$

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm M$\left(\frac{17}{12};2\right)$ thì buông đĩa (Hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M.

Lời giải:

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 1).

Khi đó $\overrightarrow{IM}\left(\frac{5}{12};1\right)$

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M nhận $\overrightarrow{IM}\left(\frac{5}{12};1\right)$ làm VTPT là:

$\frac{5}{12}\left(x-\frac{17}{12}\right)+y-2=0$

⇔ $5x+12y-\frac{373}{12}=0$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là $5x+12y-\frac{373}{12}=0$.

Bài 1 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x² + y² – 6x – 8y + 21 = 0;

b) x² + y² – 2x + 4y + 2 = 0;

c) x² + y² – 3x + 2y + 7 = 0;

d) 2x² + 2y² + x + y – 1 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = 3, b = 4, c = 21.

Ta có: a² + b² – c = 3² + 4² – 21 = 4 > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và bán kính R = $\sqrt{4}$ = 2.

b) Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = 1, b = - 2, c = 2.

Ta có: a² + b² – c = 1² + (-2)² – 2 = 3 > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và bán kính R = $\sqrt{3}$.

c) Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = $\frac{3}{2}$, b = -1, c = 7.

Ta có: a² + b² – c = ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2$ + (-1)² – 7 = $-\frac{15}{4}$ < 0.

Vậy phương trình đã cho không là phương trình đường tròn.

d) 2x² + 2y² + x + y – 1 = 0

⇔ x² + y² + $\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{2}$y – $\frac{1}{2}$ = 0

Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = $-\frac{1}{4}$, b = $-\frac{1}{4}$, c = $-\frac{1}{2}$.

Ta có: a² + b² – c = ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$ > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm $I\left(-\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)$ và bán kính $R=\sqrt{\frac{5}{8}}$.

Bài 2 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(1; 5) có bán kính r = 4;

b) (C) có đường kính MN với M(3; -1) và N(9; 3);

c) (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x – 12y + 11 = 0;

d) (C) có tâm A(1; -2) và đi qua điểm B(4; -5).

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là:

(x – 1)² + (y – 5)² = 4²

⇔ (x – 1)² + (y – 5)² = 16.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là (x – 1)² + (y – 5)² = 16.

b) Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Khi đó tọa độ tâm I của đường tròn (C) là: I = $\left(\frac{9+3}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=$(6; 1).

Ta có: $\overrightarrow{MN}$ = (6; 4) ⇒ MN = $\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$

Vì MN là đường kính của đường tròn (C) nên bán kính của (C) bằng $\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{52}}{2}$.

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(6; 1) và bán kính R = $\frac{\sqrt{52}}{2}$ là:

(x – 6)² + (y – 1)² = ${\left(\frac{\sqrt{52}}{2}\right)}^2$

⇔ (x – 6)² + (y – 1)² = 13.

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là (x – 6)² + (y – 1)² = 13.

c) Bán kính của đường tròn (C) là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng 5x – 12y + 11 = 0 là:

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính là R = $\frac{9}{13}$ là:

(x – 2)² + (y – 1)² = ${\left(\frac{9}{13}\right)}^2$

⇔ (x – 2)² + (y – 1)² = $\frac{81}{169}$

Vậy phương trình đường tròn (C) là (x – 2)² + (y – 1)² = $\frac{81}{169}$.

d) Bán kính của đường tròn (C) chính là độ dài đoạn thẳng AB.

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (3; -3) ⇒ AB = $\sqrt{3^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{2}$.

Khi đó R = AB = 3$\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn tâm A(1; -2) bán kính R = 3$\sqrt{2}$ là:

(x – 1)² + (y + 2)² = ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2$

⇔ (x – 1)² + (y + 2)² = 18.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 18.

Bài 3 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a) M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);

b) A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0).

Lời giải:

a) Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP, có tâm là I(a; b) và bán kính R.

Khi đó:

$\overrightarrow{MI}$ = (a – 2; b – 5) ⇒ MI = $\sqrt{{\left(a-2\right)}^2+{\left(b-5\right)}^2}$

$\overrightarrow{NI}$ = (a – 1; b – 2) ⇒ NI = $\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2}$

$\overrightarrow{PI}$ = (a – 5; b – 4) ⇒ PI = $\sqrt{{\left(a-5\right)}^2+{\left(b-4\right)}^2}$

Ta có: MI = NI = PI = R nên ta có hệ phương trình:

⇒ I(3; 3) và MI = $\sqrt{{\left(3-2\right)}^2+{\left(3-5\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Do đó phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có tâm I(3; 3) và bán kính R = $\sqrt{5}$ là:

(x – 3)² + (y – 3)² = ${\left(\sqrt{5}\right)}^2$

⇔ (x – 3)² + (y – 3)² = 5.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là: (x – 3)² + (y – 3)² = 5.

b) Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, có tâm là I(a; b) và bán kính R.

Khi đó:

$\overrightarrow{AI}$ = (a ; b – 6) ⇒ AI = $\sqrt{a^2+{\left(b-6\right)}^2}$

$\overrightarrow{BI}$ = (a – 7; b – 7) ⇒ BI = $\sqrt{{\left(a-7\right)}^2+{\left(b-7\right)}^2}$

$\overrightarrow{CI}$ = (a – 8; b) ⇒ CI = $\sqrt{{\left(a-8\right)}^2+b^2}$

Ta có: AI = BI = CI = R nên ta có hệ phương trình:

⇒ I(4; 3) và AI = $\sqrt{4^2+{\left(3-6\right)}^2}=\sqrt{25}=5$.

Do đó phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(4; 3) và bán kính R = 5 là:

(x – 4)² + (y – 3)² = 5²

⇔ (x – 4)² + (y – 3)² = 25.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: (x – 4)² + (y – 3)² = 25.

Bài 4 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Lời giải:

Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm là I(a; b) và bán kính R.

Vì đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2) nên a = b và R = a.

Khi đó phương trình đường tròn (C) là:

(x – a)² + (y – a)² = a²

Ta lại có đường tròn (C) đi qua điểm A(4; 2) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn (C) ta được:

(4 – a)² + (2 – a)² = a²

⇔ 16 – 8a + a² + 4 – 4a + a² = a²

⇔ a² – 12a + 20 = 0

⇔ a = 10 hoặc a = 2

Với a = 10, phương trình đường tròn cần tìm là:

(x – 10)² + (y – 10)² = 10²

⇔ (x – 10)² + (y – 10)² = 100

Với a = 2, phương trình đường tròn cần tìm là:

(x – 2)² + (y – 2)² = 2²

⇔ (x – 2)² + (y – 2)² = 4

Vậy đường tròn (C) có hai phương trình thỏa mãn điều kiện đầu bài là:

(x – 10)² + (y – 10)² = 100 và (x – 2)² + (y – 2)² = 4.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ hay khác:

• Giải Toán 10 trang 59 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 60 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 61 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 63 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

• Toán 10 Bài tập cuối chương 9

• Toán 10 Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

• Toán 10 Bài 2: Xác suất của biến cố

• Toán 10 Bài tập cuối chương 10

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---