Bài 10 trang 80 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng - Cánh diều

Bài 10 trang 80 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là $S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right),A\left(\frac{a}{2};0;0\right),B\left(-\frac{a}{2};0;0\right),\text{\hspace{0.17em}}C\left(-\frac{a}{2};a;0\right),D\left(\frac{a}{2};a;0\right)$ với a > 0 (Hình 36).

a) Xác định tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{CD}$. Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC). Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{SA}=\left(\frac{a}{2};0;-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{CD}=\left(a;0;0\right)$.

Các vectơ $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{CD}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng SA và CD nên 

cos (SA, CD) = $\frac{\left|\frac{a}{2}\cdot a+0\cdot 0+\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cdot 0\right|}{\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+0^2+{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\cdot \sqrt{a^2+0^2+0^2}}$$=\frac{\frac{a^2}{2}}{a\cdot a}=\frac{1}{2}$ (do a > 0).

Suy ra (SA, CD) = 60°.

b) Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(-a;a;0\right)$.

Xét vectơ $\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& -\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ a& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-\frac{a\sqrt{3}}{2}& \frac{a}{2}\\ 0& -a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& 0\\ -a& a\end{array}\right|\right)$$=\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\frac{a^2}{2}\right)$.

Khi đó,$\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{SD}=\left(\frac{a}{2};a;-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

Ta có sin (SD, (SAC)) = $\frac{\left|\frac{a}{2}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}+a\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \frac{a^2}{2}\right|}{\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2+{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\cdot \sqrt{{\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a^2}{2}\right)}^2}}$

$=\frac{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}\cdot a^2\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{42}}{14}$.

Suy ra (SD, (SAC)) ≈ 28°.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 65 Toán 12 Tập 2: Cầu Bãi Cháy nối Hòn Gai và Bãi Cháy (Quảng Ninh). Dây cáp của cầu gợi nên hình ảnh đường thẳng trong không gian ....

• Hoạt động 1 trang 65 Toán 12 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 23). Giá của vectơ $\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ và đường thẳng AC có vị trí tương đối như thế nào?....

• Luyện tập 1 trang 65 Toán 12 Tập 2: Trong Hình 23, vectơ $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ có là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD hay không? Vì sao?....

• Hoạt động 2 trang 66 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;3;5\right)$....

• Luyện tập 2 trang 67 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆, biết ∆ đi qua điểm C(1; 2; – 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): ....

• Hoạt động 3 trang 67 Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số: Tọa độ (x; y; z) của điểm M (nằm trên ∆) có thỏa mãn hệ phương trình ....

• Luyện tập 3 trang 68 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆, biết phương trình tham số của ∆ là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3-5t\\ z=6+9t\end{array}\right.$...

• Hoạt động 4 trang 68 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và B(3; 5; 9). ...

• Luyện tập 4 trang 69 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OM, biết M(a; b; c) với abc ≠ 0. ....

• Hoạt động 5 trang 69 Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng phân biệt ∆₁, ∆₂ lần lượt đi qua các điểm M₁, M₂ và tương ứng có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$...

• Luyện tập 5 trang 70 Toán 12 Tập 2: Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=t_1\\ y=1\\ z=0\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=t_2\\ z=0\end{array}\right.$ (t₁, t₂ là tham số)....

• Hoạt động 6 trang 71 Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ trong không gian có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$. Giả sử ∆'₁, ∆'₂ là hai đường thẳng cùng đi qua điểm I....

• Luyện tập 6 trang 72 Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$ . Tính côsin của góc giữa đường thẳng ∆ và các trục tọa độ.....

• Hoạt động 7 trang 73 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$, đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$  và đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) ...

• Luyện tập 7 trang 73 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$. Tính sin của góc giữa mặt phẳng (P) và các trục tọa độ.....

• Hoạt động 8 trang 74 Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂). Lấy hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ sao cho ∆₁ ⊥ (P₁), ∆₂ ⊥ (P₂) (Hình 31).....

• Luyện tập 8 trang 74 Toán 12 Tập 2: Trong Ví dụ 10, tính góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (CDA'B')....

• Hoạt động 9 trang 75 Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂). Gọi $\overrightarrow{n_1}=\left(A_1;B_1;C_1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(A_2;B_2;C_2\right)$ lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của (P₁), (P₂);....

• Luyện tập 9 trang 75 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$. Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (P) và các mặt phẳng tọa độ.....

• Bài 1 trang 78 Toán 12 Tập 2: Đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; 5) nhận $\overrightarrow{u}=\left(-2;8;-7\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:....

• Bài 2 trang 78 Toán 12 Tập 2: Đường thẳng đi qua điểm B(– 1; 3; 6) nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;-3;8\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:....

• Bài 3 trang 78 Toán 12 Tập 2: Mặt phẳng (P): x – 2 = 0 vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? ....

• Bài 4 trang 78 Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=3+2t\\ z=-1+3t\end{array}\right.$ (t là tham số).....

• Bài 5 trang 78 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 6 trang 79 Toán 12 Tập 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ trong mỗi trường hợp sau:...

• Bài 7 trang 79 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):....

• Bài 8 trang 79 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): ....

• Bài 9 trang 79 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P₁): x + y + 2z – 1 = 0 và (P₂): 2x – y + z – 2 = 0....

• Bài 11 trang 80 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3,5; – 2; 0,4) ...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---