Bài 9 trang 41 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân - Cánh diều

Bài 9 trang 41 Toán 12 Tập 2: Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giả sử $\widehat{POM}=\alpha ,OM=\mathcal{l}\left(0\le \alpha \le \frac{\pi }{3};\mathcal{l}>0\right)$

Gọi 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (Hình 35). Tính thể tích của 𝒩 theo α và ℓ.

Lời giải:

Cách 1:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ $\cos \widehat{POM}$ = ℓ ∙ cos α;

MP = OM ∙ $\sin \widehat{POM}$ = ℓ ∙ sin α;

Khi đó, điểm M có tọa độ là $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=OP=\mathcal{l}\cdot \cos \alpha \\ y_M=MP=\mathcal{l}\cdot \sin \alpha \end{array}\right.$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}\mathcal{l}=\frac{x_M}{\cos \alpha }\\ y_M=\frac{x_M}{\cos \alpha }\cdot \sin \alpha \end{array}\right.$ .

Suy ra y_M = x_M ∙ tan α. Do đó điểm M thuộc đường thẳng y = x ∙ tan α.

Lại có điểm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng OM là:

y = x ∙ tan α.

Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ∙ tan α, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = ℓ ∙ cos α. Khối tròn xoay 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.

Thể tích khối tròn xoay này là:

 $V=\pi \underset{0}{\overset{\mathcal{l}\cdot \cos \alpha }{\int }}{\left(x\cdot \tan \alpha \right)}^{2}dx=\pi {\tan }^2\alpha \cdot {\left.\frac{x^3}{3}\right|}_0^{\mathcal{l}\cdot \cos \alpha }$

$=\frac{\pi {\tan }^2\alpha }{3}\cdot {\left(\mathcal{l}\cdot \cos \alpha \right)}^3=\frac{\pi {\mathcal{l}}^3}{3}\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }\cdot {\cos }^3\alpha$$=\frac{\pi {\mathcal{l}}^3}{3}\cdot {\sin }^2\alpha \cdot \cos \alpha$.

Cách 2:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ $\cos \widehat{POM}$ = ℓ ∙ cos α;

MP = OM ∙ $\sin \widehat{POM}$ = ℓ ∙ sin α;

Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy là r = MP = ℓ ∙ sin α và chiều cao h = OP = ℓ ∙ cos α.

Thể tích khối nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot {\left(\mathcal{l}\cdot \sin \alpha \right)}^2\cdot \left(\mathcal{l}\cdot \cos \alpha \right)$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 28 Toán 12 Tập 2: Gốm Bát Tràng là tên gọi chung của các loại đồ gốm Việt Nam được sản xuất tại làng Bát Tràng....

• Hoạt động 1 trang 28 Toán 12 Tập 2: >Cho hàm số y = f(x) = x³ – 2x² – x + 2 có đồ thị được minh họa ở Hình 11.....

• Luyện tập 1 trang 29 Toán 12 Tập 2: Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x² – 2x, trục Ox và hai đường thẳng x = – 1, x = 3....

• Hoạt động 2 trang 30 Toán 12 Tập 2: Cho các hàm số y = 2^x, y = x. Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2....

• Luyện tập 2 trang 31 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 10 – x², y = x² + 2 và hai đường thẳng x = – 2, x = 2. ....

• Hoạt động 3 trang 34 Toán 12 Tập 2: Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với 0 ≤ x ≤ 1 ....

• Luyện tập 3 trang 35 Toán 12 Tập 2: Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 2. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x ....

• Luyện tập 4 trang 36 Toán 12 Tập 2: Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao h....

• Hoạt động 4 trang 37 Toán 12 Tập 2: Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x). ....

• Luyện tập 5 trang 38 Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = $\sin \frac{x}{2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, $x=\frac{\pi }{2}$ ....

• Bài 1 trang 39 Toán 12 Tập 2: Hình thang cong ABCD ở Hình 28 có diện tích bằng: ....

• Bài 2 trang 39 Toán 12 Tập 2: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x}$....

• Bài 3 trang 40 Toán 12 Tập 2: Cho đồ thị hàm số y = e^x và hình phẳng được tô màu như Hình 29.....

• Bài 4 trang 40 Toán 12 Tập 2: Cho đồ thị các hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, y = x + 1 và hình phẳng được tô màu như Hình 30.....

• Bài 5 trang 40 Toán 12 Tập 2: Cho đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$ và khối tròn xoay như Hình 31.....

• Bài 6 trang 40 Toán 12 Tập 2: Cho đồ thị hàm số y = f(t) như Hình 32.a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), ....

• Bài 7 trang 41 Toán 12 Tập 2: Người ta dự định lắp kính cho cửa của một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào..

• Bài 8 trang 41 Toán 12 Tập 2: Hình 34 minh họa mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong....

• Bài 10 trang 41 Toán 12 Tập 2: Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

• Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---