Giải Toán 12 trang 17 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 17 Tập 2 trong Bài 3: Tích phân Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 17.

Giải Toán 12 trang 17 Tập 2 Cánh diều

Câu hỏi khởi động trang 17 Toán 12 Tập 2: Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét).

Làm thế nào để tính diện tích của logo?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Để tính được diện tích của logo ta cần xác định các hàm số f(x) và g(x), sau đó sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số f(x), g(x) và hai đường thẳng x = – 5, x = 4.

Vì f(x), g(x) là các parabol nên gọi f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và g(x) = a'x² + b'x + c' (a' ≠ 0).

Quan sát Hình 3, ta thấy:

+ Đồ thị hàm số y = f(x) đi qua các điểm (0; 2), (4; 0) và (– 4; 0) nên

Suy ra $f\left(x\right)=-\frac{1}{8}{x}^2+2$.

+ Đồ thị hàm số y = g(x) đi qua các điểm (0; – 3), (4; 0) và (– 4; 0) nên

Suy ra $g\left(x\right)=\frac{3}{16}{x}^2+2$ .

Diện tích của logo là:

Hoạt động 1 trang 17 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) = x². Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả các điểm M(x; y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho 1 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ x² (Hình 4). Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = x², trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Chia đoạn [1; 2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:

x₀ = 1, $x_1=1+\frac{1}{n},x_2=1+\frac{2}{n},\mathrm{...}$ ,

$x_{n-1}=1+\frac{n-1}{n},x_n=1+\frac{n}{n}=2$ (Hình 5).

a) Tính diện tích T₀ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x₀; x₁] với chiều cao là f(x₀).

Tính diện tích T_1­ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x₁; x₂] với chiều cao là f(x₁).

Tính diện tích T_2­ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x₂; x₃] với chiều cao là f(x₂).

…

Tính diện tích T_{n – 1­} của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x_{n – 1}; x_n] với chiều cao là f(x_n–1).

b) Đặt S_n = T₀ + T₁ + T₂ + … + T_{n – 1}. Chứng minh rằng:

S_n = $\frac{1}{n}$  ∙ [f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + … + f(x_{n – 1})].

Tổng S_n gọi là tổng tích phân cấp n của hàm số f(x) = x² trên đoạn [1; 2].

Lời giải:

a) T₀ = f(x₀) ∙ (x₁ – x₀) = f(1) ∙ $\left(1+\frac{1}{n}-1\right)$  = $\frac{f\left(1\right)}{n}$ .

T₁ = f(x₁) ∙ (x₂ – x₁) = f(x₁) ∙ $\left[1+\frac{2}{n}-\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$  = $\frac{f\left(x_1\right)}{n}$ .

T₂ = f(x₂) ∙ (x₃ – x₂) = f(x₂) ∙ $\left[1+\frac{3}{n}-\left(1+\frac{2}{n}\right)\right]$  = $\frac{f\left(x_2\right)}{n}$ .

…

T_{n – 1} = f(x_{n – 1} ) ∙ (x_n – x_{n – 1}) = f(x_{n – 1}) ∙ $\left[2-\left(1+\frac{n-1}{n}\right)\right]$  = $\frac{f\left(x_{n-1}\right)}{n}$ .

b) T₀ = $\frac{f\left(1\right)}{n}$  = $\frac{f\left(x_0\right)}{n}$ .

Ta có S_n = T₀ + T₁ + T₂ + … + T_{n – 1}

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Tích phân hay khác:

• Giải Toán 12 trang 20
• Giải Toán 12 trang 21
• Giải Toán 12 trang 22
• Giải Toán 12 trang 23
• Giải Toán 12 trang 26
• Giải Toán 12 trang 27

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

• Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---