Giải Toán 12 trang 41 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 41 Tập 2 trong Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 41.

Giải Toán 12 trang 41 Tập 2 Cánh diều

Bài 7 trang 41 Toán 12 Tập 2: Người ta dự định lắp kính cho cửa của một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng vòm cửa cao 21 m và rộng 70 m (Hình 33).

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái như hình dưới đây.

Gọi đồ thị hàm số biểu thị cho cửa đã cho có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và các điểm (35; 21), (70; 0) nên 

Suy ra $y=-\frac{3}{175}{x}^2+\frac{6}{5}x$.

Diện tích mặt kính cần lắp V là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-\frac{3}{175}{x}^2+\frac{6}{5}x$, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 70.

Ta có $V=\underset{0}{\overset{70}{\int }}\left(-\frac{3}{175}{x}^2+\frac{6}{5}x\right)dx={\left.\left(-\frac{x^3}{175}+\frac{3x^2}{5}\right)\right|}_0^{70}=-\frac{{70}^3}{175}+\frac{3\cdot {70}^2}{5}=980$(m²).

Bài 8 trang 41 Toán 12 Tập 2: Hình 34 minh họa mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi phương trình $y=f\left(x\right)=\frac{3}{100}\left(-\frac{1}{3}{x}^3+5x^2\right)$

Hãy tính diện tích hình phẳng tô màu xanh trong Hình 34, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Lời giải:

Hình phẳng tô màu xanh trong Hình 34 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), các đường thẳng y = 5, x = – 5, x = 10.

Diện tích hình phẳng này là:

Bài 9 trang 41 Toán 12 Tập 2: Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giả sử $\widehat{POM}=\alpha ,OM=\mathcal{l}\left(0\le \alpha \le \frac{\pi }{3};\mathcal{l}>0\right)$

Gọi 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (Hình 35). Tính thể tích của 𝒩 theo α và ℓ.

Lời giải:

Cách 1:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ $\cos \widehat{POM}$ = ℓ ∙ cos α;

MP = OM ∙ $\sin \widehat{POM}$ = ℓ ∙ sin α;

Khi đó, điểm M có tọa độ là $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=OP=\mathcal{l}\cdot \cos \alpha \\ y_M=MP=\mathcal{l}\cdot \sin \alpha \end{array}\right.$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}\mathcal{l}=\frac{x_M}{\cos \alpha }\\ y_M=\frac{x_M}{\cos \alpha }\cdot \sin \alpha \end{array}\right.$ .

Suy ra y_M = x_M ∙ tan α. Do đó điểm M thuộc đường thẳng y = x ∙ tan α.

Lại có điểm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng OM là:

y = x ∙ tan α.

Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ∙ tan α, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = ℓ ∙ cos α. Khối tròn xoay 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.

Thể tích khối tròn xoay này là:

 $V=\pi \underset{0}{\overset{\mathcal{l}\cdot \cos \alpha }{\int }}{\left(x\cdot \tan \alpha \right)}^{2}dx=\pi {\tan }^2\alpha \cdot {\left.\frac{x^3}{3}\right|}_0^{\mathcal{l}\cdot \cos \alpha }$

$=\frac{\pi {\tan }^2\alpha }{3}\cdot {\left(\mathcal{l}\cdot \cos \alpha \right)}^3=\frac{\pi {\mathcal{l}}^3}{3}\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }\cdot {\cos }^3\alpha$$=\frac{\pi {\mathcal{l}}^3}{3}\cdot {\sin }^2\alpha \cdot \cos \alpha$.

Cách 2:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ $\cos \widehat{POM}$ = ℓ ∙ cos α;

MP = OM ∙ $\sin \widehat{POM}$ = ℓ ∙ sin α;

Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy là r = MP = ℓ ∙ sin α và chiều cao h = OP = ℓ ∙ cos α.

Thể tích khối nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot {\left(\mathcal{l}\cdot \sin \alpha \right)}^2\cdot \left(\mathcal{l}\cdot \cos \alpha \right)$

Bài 10 trang 41 Toán 12 Tập 2: Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = – 0,011x² – 0,071x + 40, trục Ox và hai đường thẳng x = – 35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu vang đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét.

Lời giải:

Thể tích thùng rượu vang đó là:

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân hay khác:

• Giải Toán 12 trang 28
• Giải Toán 12 trang 39
• Giải Toán 12 trang 40

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

• Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---