Giải Toán 12 trang 63 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 63 Tập 1 trong Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 63.

Giải Toán 12 trang 63 Tập 1 Cánh diều

Bài 1 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$.

B. $\overrightarrow{C{A}^{\text{'}}}$.

C. $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$.

D. $\overrightarrow{C^{\text{'}}A}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$.

Bài 2 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$;

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$.

Lời giải:

a) Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$ .

Do đó,

b) Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ .

Do đó,

Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{BC}$ ;

b) Các góc $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right);\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)$ .

Lời giải:

a)

• Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}=\overrightarrow{D^{\text{'}}C}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}C},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$.

Ta có $\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|=A^{\text{'}}B$ = $\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{B}^2}$ = $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|=D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=a$.

Do đó, $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ = $\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|\cdot \left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)$ = $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$.

• Ta có $\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Ta có: $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{C^{\text{'}}BC}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C^{\text{'}}BC}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BC}\right)=45°$.

Ta có $\left|\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\right|=A{D}^{\text{'}}$ = $\sqrt{D{D^{\text{'}}}^2+D{A}^2}$ = $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a$.

Do đó, $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{BC}$ = $\left|\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BC}\right)$ = $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$.

Vậy $\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$.

b)

Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}D}=\overrightarrow{B^{\text{'}}C}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}C},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có: $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{C^{\text{'}}BD}$ .

Ta tính được BC' = BD = C'D = $a\sqrt{2}$  nên tam giác C'BD là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{C^{\text{'}}BD}=60°$ .

Vậy $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=60°$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian hay khác:

• Giải Toán 12 trang 56

• Giải Toán 12 trang 58

• Giải Toán 12 trang 59

• Giải Toán 12 trang 60

• Giải Toán 12 trang 61

• Giải Toán 12 trang 64

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ

• Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 12 Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---