Giải Toán 12 trang 65 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 12 trang 65 Tập 2 trong Bài 3: Phương trình mặt cầu Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 65.

Giải Toán 12 trang 65 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 65 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm I(7; −3; 0), bán kính R = 8;

b) Có tâm M(3; 1; −4) và đi qua điểm N(1; 0; 1);

c) Có đường kính AB với A(4; 6; 8) và B(2; 4; 4).

Lời giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm I(7; −3; 0), bán kính R = 8 có phương trình là

(x – 7)² + (y + 3)² + z² = 64.

b) Bán kính của mặt cầu là $MN=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(0-1\right)}^2+{\left(1+4\right)}^2}=\sqrt{30}$

Mặt cầu (S) có tâm M(3; 1; −4) , bán kính $R=\sqrt{30}$ có phương trình là:

(x – 3)² + (y – 1)² + (z + 4)² = 30.

c) Có I(3; 5; 6) là trung điểm của AB, bán kính của mặt cầu là $IA=\sqrt{{\left(4-3\right)}^2+{\left(6-5\right)}^2+{\left(8-6\right)}^2}=\sqrt{6}$.

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 5; 6) và bán kính $R=\sqrt{6}$ có phương trình là:

(x – 3)² + (y – 5)² + (z – 6)² = 6.

Bài 2 trang 65 Toán 12 Tập 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² + 5x – 7y + z – 1 = 0;

b) x² + y² + z² + 4x + 6y – 2z + 100 = 0;

c) x² + y² + z² – x – y – z + $\frac{1}{2}$= 0.

Lời giải:

a) Phương trình x² + y² + z² + 5x – 7y + z – 1 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với $a=-\frac{5}{2};b=\frac{7}{2};c=-\frac{1}{2};d=-1$.

Có $a^2+b^2+c^2-d={\left(-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+1=\frac{79}{4}>0$.

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm $I\left(-\frac{5}{2};\frac{7}{2};-\frac{1}{2}\right),R=\frac{\sqrt{79}}{2}$.

b) Phương trình x² + y² + z² + 4x + 6y – 2z + 100 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = −2; b = −3; c = 1 và d = 100.

Có a² + b² + c² – d = 4 + 9 + 1 – 100 = −86 < 0.

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình x² + y² + z² – x – y – z + $\frac{1}{2}$ = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với $a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{2};d=\frac{1}{2}$.

Có $a^2+b^2+c^2-d={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}>0$.

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm $I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ và $R=\frac{1}{2}$.

Bài 3 trang 65 Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) và B(5; 0; 0). Chứng minh rằng nếu điểm M(x; y; z) thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ thì M thuộc một mặt cầu (S). Tìm tâm và bán kính của (S).

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{MA}=\left(x-1;y;z\right),\overrightarrow{MB}=\left(x-5;y;z\right)$.

Có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ ⇔ (x – 1)(x – 5) + y² + z² = 0

⇔ x² – 6x + 9 + y² + z² – 4 = 0

⇔ (x – 3)² + y² + z² = 4.

Do đó M luôn thuộc mặt cầu tâm I(3; 0; 0) và R = 2.

Bài 4 trang 65 Toán 12 Tập 2: Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz. Cho biết tọa độ tâm mặt cầu là I(360; 200; 400) và bán kính r = 2 m. Viết phương trình mặt cầu.

Lời giải:

Mặt cầu có tâm I(360; 200; 400) và bán kính r = 2 có phương trình là:

(x – 360)² + (y – 200)² + (z – 400)² = 4.

Bài 5 trang 65 Toán 12 Tập 2: Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hóa lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là (S): (x – 6)² + (y – 6)² + (z – 6)² = 25. Phương trình mặt phẳng chứa nắp là (P): z = 10.

a) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa.

b) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng chứa nắp.

Lời giải:

a) Tâm của bồn chứa I(6; 6; 6) và bán kính R = 5.

b) Ta có $d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|6-10\right|}{\sqrt{1^2}}=4$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu hay khác:

• Giải Toán 12 trang 61
• Giải Toán 12 trang 62
• Giải Toán 12 trang 63
• Giải Toán 12 trang 64

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

• Toán 12 Bài 1: Tính giá trị gần đúng tích phân bằng máy tính cầm tay

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---