Giải Toán 12 trang 66 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 12 trang 66 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 66.

Giải Toán 12 trang 66 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 11 trang 66 Toán 12 Tập 1: Cho $\overrightarrow{u}=\left(2;-5;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(0;2;-1\right)$, $\overrightarrow{w}=\left(1;7;2\right)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$ .

Lời giải:

$4\overrightarrow{v}=\left(0;8;-4\right)$; $2\overrightarrow{w}=\left(2;14;4\right)$ .

Có $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$ = (2 - 0 - 2;- 5 - 8 - 14;3 + 4 - 4) = (0; -27; 3).

Bài 12 trang 66 Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(0; 1; 2), B(1; 2; 3), C(1; −2; −5). Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MB = 3MC. Tính độ dài đoạn thẳng AM.

Vì M nằm trên đoạn thẳng BC nên $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ ngược hướng.

Mà MB = 3MC nên $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$ .

Gọi M(x; y; z). Có $\overrightarrow{MB}=\left(1-x;2-y;3-z\right)$ và $\overrightarrow{MC}=\left(1-x;-2-y;-5-z\right)$ .

Vì $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$ nên $\left\{\begin{array}{l}1-x=-3\left(1-x\right)\\ 2-y=-3\left(-2-y\right)\\ 3-z=-3\left(-5-z\right)\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\\ z=-3\end{array}\right.$.

Vậy M(1; −1; −3).

Khi đó ta có $AM=\sqrt{{\left(1-0\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2+{\left(-3-2\right)}^2}=\sqrt{30}$ .

Bài 13 trang 66 Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$  và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau góc 60°. Biết rằng $\left|\overrightarrow{u}\right|=2$  và $\left|\overrightarrow{v}\right|=4$ . Tính $\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|$ .

Lời giải:

Ta có ${\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|}^2={\overrightarrow{u}}^2+2.\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2$

$=2^2+2.\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)+4^2$

$=2^2+\mathrm{2.2.4.}\cos 60°+4^2$

$=2^2+\mathrm{2.2.4.}\frac{1}{2}+4^2=28$

Do đó $\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ .

Bài 14 trang 66 Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(0; −2; 3).

a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.

b) Tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải:

a) Gọi H(x; y; z) là chân đường cao hạ từ A xuống OB.

Ta có $\overrightarrow{BH}=\left(x;y+2;z-3\right)$ ; $\overrightarrow{BO}=\left(0;2;-3\right)$

Vì H $\in$ OB và $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BO}$ cùng phương nên $\overrightarrow{BH}=k\overrightarrow{BO}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y+2=2k\\ z-3=-3k\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2k-2\\ z=-3k+3\end{array}\right.$

Do đó H(0; 2k – 2; −3k + 3).

Suy ra $\overrightarrow{AH}=\left(-1;2k-2-2;-3k+3+1\right)$ hay $\overrightarrow{AH}=\left(-1;2k-4;-3k+4\right)$ .

Vì $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BO}$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BO}=0$

$\iff \left(-1\right).0+\left(2k-4\right).2+\left(-3k+4\right).\left(-3\right)=0$

$\iff k=\frac{20}{13}$

Suy ra $H\left(0;\frac{14}{13};\frac{-21}{13}\right)$ , $\overrightarrow{AH}=\left(-1;-\frac{12}{13};-\frac{8}{13}\right)$

Độ dài đường cao AH là $\left|\overrightarrow{AH}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-\frac{12}{13}\right)}^2+{\left(-\frac{8}{13}\right)}^2}=\frac{\sqrt{377}}{13}$.

b) Ta có $\left|\overrightarrow{BO}\right|=\sqrt{0+2^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{13}$ .

Do đó $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BO.AH=\frac{1}{2}.\sqrt{13}.\frac{\sqrt{377}}{13}$ $=\frac{\sqrt{29}}{2}$ .

Bài 15 trang 66 Toán 12 Tập 1: Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}=\left(300;200;400\right)$  (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay A.

a) Tìm tọa độ vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B.

b) Tính tốc độ của máy bay B.

Lời giải:

a) Có $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{a}=\left(900;600;1200\right)$ .

b) Tốc độ của máy bay B là:

$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{900}^2+{600}^2+{1200}^2}\approx 1615,55$ km/h

Bài 16 trang 66 Toán 12 Tập 1: Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó.

Một phân tử metan CH₄ được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện.

Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết H – C – H là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng 109,5°.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm của tứ diện đều ABCD.

Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{GA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{GB},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{GC},\overrightarrow{d}=\overrightarrow{GD}$

Ta có $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{d}\right|$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{d}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}$

Ta có $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow {\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\right)}^2=0$

$\Rightarrow 4{\overrightarrow{a}}^2+12.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

$\Rightarrow \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^2}=-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\approx 109,5°$

Vậy góc liên kết gần bằng 109,5°.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 2 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 65

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 12 Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 12 Bài tập cuối chương 3

• Toán 12 Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra

• Toán 12 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính cầm tay

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---