Bài 1.44 trang 44 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.44 trang 44 Toán 12 Tập 1: Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$ .

Quảng cáo

a) Viết công thức tính q = g(p) như một hàm số của biến p ∈ (f; +∞).

b) Tính các giới hạn $\lim_{p \to + \infty} g (p); \lim_{p \to f^{+}} g (p)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số q = g(p) trên khoảng (f; +∞).

Bài 1.44 trang 44 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Lời giải:

a) Ta có $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f} \Leftrightarrow \frac{1}{q} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} \Leftrightarrow \frac{1}{q} = \frac{p - f}{p f} \Leftrightarrow q = \frac{p f}{p - f}$

Do đó q = g(p) = $\frac{p f}{p - f}$ với p ∈ (f; +∞).

b) $\lim_{p \to + \infty} g (p) = \lim_{p \to + \infty} \frac{p f}{p - f} = \lim_{p \to + \infty} \frac{f}{1 - \frac{f}{p}} = f; \lim_{p \to f^{+}} g (p) = \lim_{p \to f^{+}} \frac{p f}{p - f} = + \infty$

Từ $\lim_{p \to + \infty} g (p) = f$ suy ra đồ thị hàm số q = g(p) nhận đường thẳng q = f làm tiệm cận ngang. Như vậy, khi vật đặt cách thấu kính càng xa thì ảnh càng tiến gần đến tiêu điểm của thấu kính.

Từ $\lim_{p \to f^{+}} g (p) = + \infty$ suy ra đồ thị hàm số q = g(p) nhận đường thẳng p = f làm tiệm cận đứng. Như vậy, khi vật đặt càng gần tiêu điểm thì ảnh càng tiến ra xa vô hạn.

c) Ta có $q^{'} = \frac{f (p - f) - p f}{{(p - f)}^{2}} = \frac{- f^{2}}{{(p - f)}^{2}} < 0, \forall p \in (f; + \infty)$