Giải Toán 12 trang 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 12 trang 11 Tập 2 trong Bài 11: Nguyên hàm Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 11.

Giải Toán 12 trang 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 4.1 trang 11 Toán 12 Tập 2: Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞);

b) F(x) = e^sinx và f(x) = e^cosx trên ℝ.

Lời giải:

a) Có F'(x) = (xlnx)' = $\ln x+x.\frac{1}{x}=1+\ln x$ = f(x).

Do đó, hàm số F(x) = xlnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞).

b) Có F'(x) = (e^sinx)' = e^sinx.(sinx)' = cosx.e^sinx ≠ f(x) = e^cosx.

Do đó, hàm số F(x) = e^sinx không là nguyên hàm của hàm số f(x) = e^cosx trên ℝ.

Bài 4.2 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 3x² + 2x – 1;                                 b) f(x) = x³ – x;

c) f(x) = (2x + 1)²;                                       d) $f\left(x\right)={\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^2$

Lời giải:

a) $\int \left(3x^2+2x-1\right)dx=3\int x^{2}dx+2\int xdx-\int dx=x^3+x^2-x+C$

b) $\int \left(x^3-x\right)dx=\int x^{3}dx-\int xdx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}+C$

c) $\int {\left(2x+1\right)}^{2}dx=\int \left(4x^2+4x+1\right)dx$

$=4\int x^{2}dx+4\int xdx+\int dx=\frac{4}{3}{x}^3+2x^2+x+C$

d) $\int {\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\int \left(4x^2-4+\frac{1}{x^2}\right)dx$$=4\int x^{2}dx-4\int dx+\int x^{-2}dx$$=\frac{4}{3}{x}^3-4x-\frac{1}{x}+C$

Bài 4.3 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx$;                           b) $\int \sqrt{x}\left(7x^2-3\right)dx\left(x>0\right)$;

c) $\int \frac{{\left(2x+1\right)}^2}{x^2}dx$;             d) $\int \left(2^x+\frac{3}{x^2}\right)dx$

Lời giải:

a) $\int \left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx$$=3\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int x^{-\frac{1}{3}}dx=2x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}+C$$=2x\sqrt{x}+\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}+C$

b) $\int \sqrt{x}\left(7x^2-3\right)dx$$=7\int x^{\frac{5}{2}}dx-3\int x^{\frac{1}{2}}dx=$$2x^{\frac{7}{2}}-2x^{\frac{3}{2}}+C=2\sqrt{x^7}-2\sqrt{x^3}+C$

c) $\int \frac{{\left(2x+1\right)}^2}{x^2}dx$$=\int \frac{4x^2+4x+1}{x^2}dx$$=\int \left(4+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$

$=4\int dx+4\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{1}{x^2}dx$$=4x+4\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}+C$

d) $\int \left(2^x+\frac{3}{x^2}\right)dx$$=\int 2^{x}dx+3\int x^{-2}dx$$=\frac{2^x}{\ln 2}-\frac{3}{x}+C$

Bài 4.4 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(2\cos x-\frac{3}{{\sin }^{2}x}\right)dx$;                     b) $\int 4{\sin }^2\frac{x}{2}dx$;

c) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$;                      d) $\int \left(x+{\tan }^{2}x\right)dx$

Lời giải:

a) $\int \left(2\cos x-\frac{3}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=2\int \cos xdx-3\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$$=2\sin x+3\cot x+C$

b) $\int 4{\sin }^2\frac{x}{2}dx$$=2\int \left(1-\cos x\right)dx$$=2\int dx-2\int \cos xdx$$=2x-2\sin x+C$

c) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$$=\int \left(1-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\right)dx$$=\int dx-\int \sin xdx$$=x+\cos x+C$

d) $\int \left(x+{\tan }^{2}x\right)dx$$=\int xdx+\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$

$=\int xdx+\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\int dx$$=\frac{x^2}{2}+\tan x-x+C$

Bài 4.5 trang 11 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (0; +∞). Biết rằng, $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+\frac{1}{x^2}$ với mọi x ∈ (0; +∞) và f(1) = 1. Tính giá trị f(4).

Lời giải:

Có $f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int \left(2x+\frac{1}{x^2}\right)dx=x^2-\frac{1}{x}+C$

Vì f(1) = 1 nên 1 – 1 + C = 1 Þ C = 1.

Do đó $f\left(x\right)=x^2-\frac{1}{x}+1$

Vậy $f\left(4\right)=4^2-\frac{1}{4}+1=\frac{67}{4}$

Bài 4.6 trang 11 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Xét điểm M(x; f(x)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k_M = (x – 1)² và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).

Lời giải:

Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k_M = (x – 1)² nên ta có:

$f\left(x\right)=\int {\left(x-1\right)}^{2}dx=\int \left(x^2-2x+1\right)dx$$=\int x^{2}dx-2\int xdx+\int dx$$=\frac{x^3}{3}-x^2+x+C$

Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên f(0) = 0.

Do đó $f\left(0\right)=\frac{0^3}{3}-0^2+0+C=0\Rightarrow C=0$

Do đó $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-x^2+x$

Bài 4.7 trang 11 Toán 12 Tập 2: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 160 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 5 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó $S\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int \left(160-\mathrm{9,8}t\right)dt=160t-\mathrm{4,9}{t}^2+C$

Vì S(0) = 0 nên 160.0 – 4,9.0 + C = 0 => C = 0.

Do đó S(t) = −4,9t² + 160 t.

a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: S(5) = −4,9.5² + 160.5 = 677,5 (m).

b) Có S(t) = −4,9t² + 160t

$-\frac{1}{10}\left(49t^2-2.7t.\frac{800}{7}+\frac{640000}{49}\right)+\frac{64000}{49}$

$-\frac{1}{10}{\left(7t-\frac{800}{7}\right)}^2+\frac{64000}{49}\le \frac{64000}{49}$

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là $\frac{64000}{49}\approx \mathrm{1306,1}$m khi $t=\frac{800}{49}$giây.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm hay khác:

• Giải Toán 12 trang 4
• Giải Toán 12 trang 5
• Giải Toán 12 trang 6
• Giải Toán 12 trang 7
• Giải Toán 12 trang 8
• Giải Toán 12 trang 9
• Giải Toán 12 trang 10

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 12: Tích phân

• Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng

• Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức

---