Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2 Cánh diều

Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-11 trên Shopee mall

Giải Toán 7 Bài tập cuối chương 7 - Cánh diều

Giải sgk Toán 7 Bài tập cuối chương 7

Bài 9 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

Quảng cáo

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2 Cánh diều

Gọi K là trung điểm của BC.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, K thẳng hàng (1).

Do K là trung điểm của BC nên BK = CK.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Xét ∆AKB và ∆AKC có:

AK chung.

BK = CK (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

Do đó ∆AKB = ∆AKC (c - c - c).

Suy ra $\hat{A K B} = \hat{A K C}$ , mà $\hat{A K B} + \hat{A K C} = 180 °$ nên $\hat{A K B} = \hat{A K C} = 90 °$ .

Do đó AK ⊥ BC.

Quảng cáo

H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Ta có AK ⊥ BC và AH ⊥ BC nên A, H, K thẳng hàng (2).

O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OKB và ∆OKC có:

OK chung.

OB = OC (chứng minh trên).

BK = CK (chứng minh trên).

Do đó ∆OKB = ∆OKC (c - c - c).

Suy ra $\hat{O K B} = \hat{O K C}$ , mà $\hat{O K B} + \hat{O K C} = 180 °$ nên $\hat{O K B} = \hat{O K C} = 90 °$ .

Do đó OK ⊥ BC.

Lại có AK ⊥ BC nên A, O, K thẳng hàng (3).

Do BI là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{I B K} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ .

Do CI là tia phân giác của $\hat{A C B}$ nên $\hat{I C K} = \frac{1}{2} \hat{A C B}$ .

Mà $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ nên $\hat{I B K} = \hat{I C K}$ .

Tam giác IBC có $\hat{I B C} = \hat{I C B}$ nên tam giác IBC cân tại I.

Do đó IB = IC.

Xét ∆IBK và ∆ICK có:

IB = IC (chứng minh trên).

$\hat{I B K} = \hat{I C K}$ (chứng minh trên).

BK = CK (chứng minh trên).

Do đó ∆IBK = ∆ICK (c - g - c).

Suy ra $\hat{I K B} = \hat{I K C}$ , mà $\hat{I K B} + \hat{I K C} = 180 °$ nên $\hat{I K B} = \hat{I K C} = 90 °$ .

Do đó IK ⊥ BC.

Lại có AK ⊥ BC nên A, I, K thẳng hàng (4).

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.

Quảng cáo

Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2 Cánh diều

Gọi K là chân đường cao kẻ từ H vuông BC.

H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, K thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.

Mà AI là tia phân giác của $\hat{B A C}$ nên AK là đường phân giác của $\hat{B A C}$ .

Do đó $\hat{K A B} = \hat{K A C}$ .

Xét ∆AKB vuông tại K và ∆AKC vuông tại K có:

$\hat{K A B} = \hat{K A C}$ (chứng minh trên).

AK chung.

Do đó ∆AKB = ∆AKC (góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Quảng cáo

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 7 trang 119, 120 hay, chi tiết khác:

Các bài học để học tốt Toán 7 Bài tập cuối chương 7:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 7

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.