Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 7 Cánh diều

Với tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 7: Tam giác hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 7 Cánh diều

Lý thuyết tổng hợp Toán 7 Chương 7

1. Tổng ba góc của một tam giác

– Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.

– Chú ý:

+ Tam giác có ba góc cùng nhọn gọi là tam giác nhọn.

+ Tam giác có một góc vuông gọi là tam giác vuông.

+ Tam giác có một góc tù gọi là tam giác tù.

– Nhận xét: Trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°.

– Góc ngoài của tam giác:

+ Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc trong của một tam giác đó.

+ Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

2.1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn

– Trong tam giác ABC:

• Góc A được gọi là góc đối diện với cạnh BC;

• Góc B được gọi là góc đối diện với cạnh CA;

• Góc C được gọi là góc đối diện với cạnh AB.

– Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu AC > AB thì $\hat{B}>\hat{C}.$

2.2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn

– Trong tam giác ABC:

• Cạnh BC được gọi là cạnh đối diện với góc A;

• Cạnh CA được gọi là cạnh đối diện với góc B;

• Cạnh AB được gọi là cạnh đối diện với góc C.

– Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu $\hat{B}>\hat{C}$thì AC > AB.

– Nhận xét:

+ Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

+ Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

3. Bất đẳng thức tam giác

– Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Trong tam giác ABC, ta có: AB + BC > AC; AB + AC > BC; AC + BC > AB.

Các bất đảng thức này gọi là các bất đẳng thức tam giác.

–Nhận xét:Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

4. Hai tam giác bằng nhau

– Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

– Khi tam giác ABC và tam giác A'B'C' bằng nhau thì ta kí hiệu là: DABC = DA'B'C'.

– Quy ước: Khi viết hai tam giác bằng nhau, tên đỉnh của hai tam giác đó phải viết theo đúng thứ tự tương ứng với sự bằng nhau.

– Chú ý:

+ Nếu AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C' và $\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}},\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}},\hat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$ thì DABC = DA'B'C'.

+ NếuDABC = DA'B'C' thì AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C' và $\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}},$ $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}},$ $\hat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}.$

Ở đây:

• Hai góc A và A' (B và B', C và C') là hai góc tương ứng;

• Hai cạnh AB và A'B' (BC và B'C', AC và A'C') là hai cạnh tương ứng.

5. Trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

– Tính chất: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ thì DABC = DA’B’C’ (c.c.c).

Ví dụ: Cho $\widehat{xOy},$ trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Vẽ các cung tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau ở điểm I nằm trong góc xOy. Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Vì các cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính cắt nhau ở điểm I nằm trong góc xOy (giả thiết) nên ta có AI = BI

Xét tam giác OAI và tam giác OBI có:

OA = OB (giả thiết),

AI = BI (chứng minh trên),

OI là cạnh chung.

Suy ra DOAI = DOBI (c.c.c).

Do đó $\widehat{AOI}=\widehat{BOI}$ (hai góc tương ứng)

Nên tia OI là tia phân giác của góc xOy.

Vậy tia OI là tia phân giác của góc xOy.

– Nhận xét: Cách vẽ tia phân giác của một góc đã được chứng minh cụ thể như trên.

6. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A’B’C’ có $\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=90°,$BC = B’C’, AB = A’B’ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

7. Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

– Tính chất: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu AB = A’B’, $\hat{A}=\widehat{A\text{'}}$, AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’ (c.g.c).

8. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

– Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A}=\widehat{A\text{'}}=90°,$AB = A’B’, AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’.

9. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc

– Tính chất: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$, AB = A’B’, $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ thì DABC = DA’B’C’ (g.c.g).

10. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông (hoặc cạnh huyền) và góc nhọn của tam giác vuông

10.1. Trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A}=\widehat{A\text{'}}=90°$, AB = A’B’, $\hat{B}=\widehat{B\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

10.2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A}=\widehat{A\text{'}}=90°$, BC = B’C’, $\hat{B}=\widehat{B\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh huyền – góc nhọn).

Ví dụ: Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc đó. Gọi I là một điểm trên tia Oz (I khác O). Kẻ IM vuông góc với Ox (M ∈ Ox), IN vuông góc với Oy (N ∈ Oy). Biết độ dài đoạn thẳng IM là 2 cm, tính độ dài đoạn thẳng IN?

Hướng dẫn giải

Xét DOIM và DOIN có:

$\widehat{OMI}=\widehat{ONI}=90°,$

$\widehat{IOM}=\widehat{ION}$ (do Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$),

OI là cạnh chung,

Do đó DOMI = DONI (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra IM = IN (hai cạnh tương ứng)

Mà IM = 2 cm (giả thiết)

Nên IN = 2 cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng IN là 2 cm.

– Nhận xét: Độ dài các đoạn thẳng IM, IN gọi là khoảng cách từ điểm I lần lượt đến hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Như vậy ta có thể nói: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ: Cho góc xOy nhọn. Gọi A là một điểm nằm trong góc xOy. Kẻ AB vuông góc với Ox (B ∈ Ox), AC vuông góc với Oy (C ∈ Oy). Biết AB = AC. Chứng minh rằng điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Xét DOAB và DOAC có:

$\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90°,$

AB = AC (giả thiết),

OA là cạnh chung.

Do đó DABO = DACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{BOA}=\widehat{AOC}$(hai góc tương ứng).

Do đó OA là tia phân giác của $\widehat{xOy}.$

Nên A là điểm thuộc tia phân giác của góc xOy.

Vậy điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

– Nhận xét: Nếu một điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

11. Vẽ tam giác khi biết ba cạnh

Ví dụ: Để vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AC = 5 cm

– Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 3 cm và một phần đương tròn tâm C bán kính 7 cm, B là điểm chung của hai phần đường tròn đó

– Bước 3: Vẽ các đoạn thẳng AB, BC. Ta được tam giác ABC.

12. Vẽ tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Để vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, $\hat{A}=50°$ bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ $\widehat{xAy}=50°$

– Bước 2: Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 3 cm, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 5 cm

– Bước 3: Vẽ đoạn thẳng BC. Ta được tam giác ABC.

13. Vẽ tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó

Ví dụ: Để vẽ tam giác ABC có AB = 5 cm, $\hat{A}=60°,\hat{B}=70°$ bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = 5 cm

– Bước 2: Vẽ các tia Ax, By sao cho $\widehat{BAx}=60°,\widehat{ABy}=70°$

– Bước 3: Vẽ C là điểm chung của hai tia Ax và By. Ta nhận được tam giác ABC.

14. Tam giác cân

14.1. Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Khi đó, ta gọi:

• Tam giác ABC là tam giác cân tại A;

• AB, AC là các cạnh bên và BC là cạnh đáy;

• $\hat{\text{B}}\text{,}\hat{\text{C}}$ là các góc ở đáy và $\hat{\text{A}}$ là góc ở đỉnh.

14.2. Tính chất

Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Chú ý:

+ Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

+ Trong tam giác vuông cân, mỗi góc ở đáy bằng 45°.

14.3. Dấu hiệu nhận biết

– Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Chú ý:

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

+ Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

14.4. Vẽ tam giác cân

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ tam giác HEG cân tại H có cạnh bên HE = HG = a

Để vẽ tam giác HEG, ta làm theo các bước:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng EG.

– Bước 2: Vẽ cung tròn tâm E bán kính a và cung tròn tâm G bán kính a. Hai cung tròn cắt nhau tại H.

– Bước 3: Vẽ các đoạn HE, HG. Ta nhận được tam giác HEG cân tại H.

15. Đường vuông góc và đường xiên

Trong hình vẽ trên, ta gọi:

– Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;

– Điểm H là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d;

– Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d;

– Đoạn thẳng AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

16. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

– Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

17. Đường trung trực của một đoạn thẳng

17.1. Định nghĩa

– Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Quan sát hình vẽ trên, ta có:

+ Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;

+ Đường thẳng d ⊥ AB tại I.

Do đó, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

17.2. Tính chất

– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Quan sát hình trên, ta có:

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng DE;

Điểm O nằm trên đường thẳng a.

Khi đó ta có OD = OE.

– Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, M là điểm sao cho MA = MB (như hình vẽ bên dưới). Ta có M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

17.3. Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết AB = a cm.

Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta làm theo các bước:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = a cm.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính R (biết R > $\frac{a}{2}$).

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính R (biết R > $\frac{a}{2}$), cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.

Bước 4: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

18. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

18.1. Đường trung tuyến của tam giác

– Trong tam giác ABC (hình bên dưới), đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).

Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến của ∆ABC.

– Chú ý: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

18.2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

– Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.

Chú ý: Trong tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến AM, BK, CN cùng đi qua điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G.

Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Nhận xét: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Lưu ý: Trong ∆ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm ta có:

$\frac{\text{GM}}{\text{AM}}=\frac{1}{3},\frac{\text{GM}}{\text{GA}}=\frac{1}{2}$

19. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

19.1. Đường phân giác của tam giác

– Trong tam giác ABC (hình vẽ bên dưới), tia phân giác của $\hat{\text{A}}$cắt cạnh BC tại D. Khi đó, đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

Đôi khi, đường thẳng AD cũng được gọi là đường phân giác của ∆ABC.

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

19.2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

– Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm

Nhận xét:

+ Để xác định giao điểm ba đường phân giác của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường phân giác bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

+ Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

– Vậy, trong một tam giác ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.

20. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

20.1. Đường trung trực của tam giác

– Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Chú ý: Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.

– Nhận xét: Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.

20.2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Nhận xét:

+ Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

+ Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Do đó, trong một tam giác ba đường trung trực cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

21. Tính chất ba đường cao của tam giác

21.1. Đường cao của tam giác

– Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là một đường cao của tam giác đó.

Trong hình vẽ trên, đoạn thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC. Đôi khi, ta cũng gọi đường thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC.

Chú ý:

+ Mỗi tam giác có ba đường cao.

+ Đường cao của tam giác có thể nằm trong, trên cạnh hoặc nằm ngoài tam giác.

21.2. Tính chất ba đường cao trong tam giác

– Trong một tam giác, ba đường cao cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Nhận xét: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường cao bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Bài tập tổng hợp Toán 7 Chương 7

Bài 1. Tính số đo góc x, y, z và cho biết tam giác trong mỗi hình dưới đây là tam giác gì?

Hướng dẫn giải

• Hình a)

Xét DABC có: $\stackrel{︿}{\text{A}}+\stackrel{︿}{\text{B}}+\stackrel{︿}{\text{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{B}=180°-\hat{C}-\hat{A}$

Mà $\stackrel{︿}{\text{C}}=35°,\stackrel{︿}{A}=65°$

Do đó $\stackrel{︿}{B}=180°-35°-65°=80°$

Vậy số đo x là 80°.

Tam giác ABC có $\hat{A}=65°,\hat{B}=80°$ và $\hat{C}=35°$ đều là góc nhọn nên tam giác ABC là tam giác nhọn.

• Hình b)

Xét tam giác MNP có $\hat{D}+\hat{E}+\hat{G}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{D}=180°-\hat{E}-\hat{G}$

Mà $\stackrel{︿}{\text{E}}=39°,\stackrel{︿}{\text{G}}=22°$

Do đó $\stackrel{︿}{\text{D}}=180°-39°-22°=119°$

Vậy số đo z là 119°.

Tam giác DEG có $\hat{D}=119°>90°$ là góc tù nên tam giác DEG là tam giác tù.

• Hình c)

Tam giác MNP có $\hat{M}=90°$nên tam giác MNP là tam giác vuông.

Do đó: $\hat{N}+\hat{P}=90°$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°)

Suy ra $\hat{N}=90°-\hat{P}$

Mà $\stackrel{︿}{P}=40°$

Do đó $\stackrel{︿}{N}=90°-40°=50°$

Vậy số đo y là 50°.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{C}=30°.$Lấy điểm D nằm trên cạnh AC sao cho $\widehat{CBD}=20°.$ Tính số đo của:

a) $\widehat{ADB};$

b) $\widehat{ABD}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác BCD có $\widehat{ADB}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh D

Do đó $\widehat{ADB}=\hat{C}+\widehat{CBD}$(tính chất góc ngoài của tam giác)

Suy ra $\widehat{ADB}=30°+20°=50°.$

Vậy $\widehat{ADB}=50°.$

b) Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{A}=90°$

Do đó tam giác ABD vuông tại A.

Khi đó $\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=90°$(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Suy ra $\widehat{ABD}=90°-\widehat{ADB}$

Do đó $\widehat{ABD}=90°-50°=40°.$

Vậy $\widehat{ABD}=40°.$

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn. So sánh độ dài mỗi cạnh với nửa chu vi của tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài các cạnh của tam giác ABC là a, b, c (a, b, c > 0) (hình vẽ).

•Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có a < b + c

Nên a + a < b + c + a

Hay 2.a < b + c + a

Suy ra a < $\frac{a+b+c}{2}$

•Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có b < a + c

Nên b + b < b + c + a

Hay 2.b < b + c + a

Suy ra b < $\frac{a+b+c}{2}$

•Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có c < a + b

Nên c + c < b + c + a

Hay 2.c < b + c + a

Suy ra c < $\frac{a+b+c}{2}$

Vây độ dài một cạnh của tam giác luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Bài 4. Cho tam giác MNP có góc M là góc tù. Trên cạnh MN lấy điểm D (D khác M, N), trên MP lấy điểm E (E khác M, P). So sánh DE và NP.

Hướng dẫn giải

Vì $\widehat{PE\text{D}}$ là góc ngoài của tam giác DME nên $\widehat{PE\text{D}}=\widehat{\text{EDM}}+\hat{M}$

Mà $\hat{M}$ là góc tù (giả thiết) nên $\widehat{PE\text{D}}$ là góc tù.

Xét tam giác DEP có $\widehat{PE\text{D}}$ là góc tù, DP là cạnh đối diện với $\widehat{PE\text{D}}$

Suy ra DE < DP (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).

Vì $\widehat{N\text{D}P}$ là góc ngoài của tam giác DPM nên $\widehat{N\text{D}P}=\widehat{DPM}+\hat{M}$

Mà $\hat{M}$ là góc tù (giả thiết) nên $\widehat{N\text{D}P}$ là góc tù.

Xét tam giác DNP có $\widehat{N\text{D}P}$ là góc tù, NP là cạnh đối diện với $\widehat{N\text{D}P}$

Suy ra DP < NP (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).

Lại có DE < DP (chứng minh trên).

Suy ra DE < DP < NP.

Vậy DE < NP.

Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = AC. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại điểm D.

a) Chứng minh ∆ABD = ∆ACD.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh A, M, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Vì AB ⊥ BD tại B nên $\widehat{ABD}=90°.$

Vì AC ⊥ CD tại C nên $\widehat{ACD}=90°.$

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90°,$

AD là cạnh chung,

AB = AC (giả thiết),

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy ∆ABD = ∆ACD.

b) Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (giả thiết),

AM là cạnh chung,

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180°}{2}=90°.$

Chứng minh tương tự ta cũng có:

∆DBM = ∆DCM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{DMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{DMB}+\widehat{DMC}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{DMB}=\widehat{DMC}=\frac{180°}{2}=90°.$

Ta có: $\widehat{AMB}=90°$ và $\widehat{DMB}=90°.$

Suy ra $\widehat{AMB}+\widehat{DMB}=90°+90°=180°$

Do đó $\widehat{AMB}$và $\widehat{DMB}$ là hai góc kề bù.

Nên ba điểm A, M, D cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của MC lấy E sao cho CM = ME. Trên tia đối của NB lấy F sao cho NF = NB. Chứng minh rằng ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

• Xét ∆ANF và ∆CNB có:

NA = NC (vì N là trung điểm của AC),

$\widehat{ANF}=\widehat{BNC}$ (hai góc đối đỉnh),

FN = BN (giả thiết),

Do đó ∆ANF = ∆CNB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AFN}=\widehat{CBN}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong của AF và BC.

Nên AF // BC (1)

• Xét ∆AME và ∆BMC có:

MA = MB (vì M là trung điểm của AB),

$\widehat{AME}=\widehat{BMC}$ (hai góc đối đỉnh),

EM = MC (giả thiết),

Do đó ∆AME = ∆BMC (c.g.c)

Suy ra (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong của AE và BC.

Nên AE // BC (2)

Qua điểm A nằm ngoài đường thằng BC chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với BC (tiên đề Euclid) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AE ≡ AF.

Hay ba điểm A, E, F cũng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm A, E, F thẳng hàng.

Bài 7. Cho tam giác ABC có $\hat{B}=90°,$ AC = 2AB. Gọi D là trung điểm của AC và tia AE là tia phân giác của (E ∈ BC).

a) Chứng minh ED ⊥ AC;

b) Chứng minh EA = EC;

c) Tính số đo của $\widehat{BAC},\widehat{BCA}$ của ∆ABC.

Hướng dẫn giải

Vì AC = 2AB (giả thiết) nên AB = $\frac{1}{2}$AC.

Vì D là trung điểm AC nên AD = DC = $\frac{1}{2}$AC.

Do đó AB = AD = DC = $\frac{1}{2}$AC.

Xét ∆ABE và ∆ADE có:

AB = AD (chứng minh trên),

$\widehat{BAE}=\widehat{DAE}$(do AE là tia phân giác của $\widehat{BAC})$

AE là cạnh chung

Do đó ∆A$\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=90°$$\widehat{DAE}=\widehat{DCE}$BE = ∆ADE (c.g.c).

Suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{ADE}$(hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ABE}=90°$(giả thiết)

Do đó $\widehat{ADE}=90°.$

Hay ED ⊥ AC tại D.

Vậy ED ⊥ AC.

b) Xét ∆ADE và ∆CDE có:

$\widehat{ADE}=\widehat{CDE}=90°$ (do ED ⊥ AC),

AD = DC (chứng minh phần a),

ED là cạnh chung,

Do đó ∆ADE = ∆CDE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra EA = EC (hai cạnh tương ứng).

Vậy EA = EC.

c) Vì ∆ADE = ∆CDE (chứng minh phần b)

Nên $\widehat{DAE}=\widehat{DCE}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{DAE}=\widehat{BAE}$ (do AE là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)

Do đó $\widehat{DAE}=\widehat{DCE}=\widehat{BAE}.$

Xét ∆ABC vuông tại B có: $\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=90°$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Suy ra $\widehat{BAE}+\widehat{DAE}+\widehat{DCE}=90°$

Hay $3\widehat{DCE}=90°$

Do đó $\widehat{DCE}=30°$ nên $\widehat{BCA}=30°$

Suy ra $\widehat{DAE}=\widehat{BAE}=30°$

Khi đó $\widehat{BAC}=\widehat{BAE}+\widehat{DAE}=30°+30°=60°.$

Vậy ∆ABC có $\widehat{BAC}=60°$ và $\widehat{BCA}=30°.$

Bài 8. Cho tam giác ABC có AH, BK, CL là các đường cao kẻ từ các đỉnh tương ứng. Chứng minh rằng: AH + BK + CL < AB + BC + CA.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có:

• AH là đường vuông góc;

• AB, AC là các đường xiên kẻ từ A tới BC.

Do đó $\left(\begin{array}{c}\text{AH < AB}\\ \text{AH < AC}\end{array}\right)$ nên AH + AH < AB + AC

Hay 2AH < AB + AC

Suy ra AH < $\frac{1}{2}(\text{AB + AC)}$ (1)

+) Ta có BK là đường vuông góc và BA, BC là các đường xiên kẻ từ B tới AC.

Do đó $\left(\begin{array}{c}\text{BK < BA}\\ \text{BK < BC}\end{array}\right)$ nên 2BK < BA + BC

Suy ra BK < $\frac{1}{2}(BA\text{+ BC)}$ (2)

+) Ta có CL là đường vuông góc và CB, CA là các đường xiên kẻ từ B tới AB.

Do đó $\left(\begin{array}{c}\text{CL < CA}\\ \text{CL < CB}\end{array}\right)$ nên 2CL < CA + CB

Suy ra CL < $\frac{1}{2}(CA\text{+ CB)}$ (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra:

AH + BK + CL < $\frac{1}{2}(\text{AB + AC)}$ + $\frac{1}{2}(BA\text{+ BC)}$ + $\frac{1}{2}(CA\text{+ CB)}$

Suy ra AH + BK + CL < $\frac{1}{2}\text{AB +}\frac{1}{2}\text{AC +}\frac{1}{2}\text{BA +}\frac{1}{2}\text{BC +}\frac{1}{2}\text{CA +}\frac{1}{2}\text{CB}$

AH + BK + CL < $\left(\frac{1}{2}\text{AB +}\frac{1}{2}\text{BA}\right)\text{+}\left(\frac{1}{2}\text{BC +}\frac{1}{2}\text{CB}\right)\text{+}\left(\frac{1}{2}\text{AC +}\frac{1}{2}\text{CA}\right)$

Hay AH + BK + CL < AB + BC + CA.

Vậy AH + BK + CL < AB + BC + CA.

Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) AH là trung trực của EF;

b) AH là trung trực của BC.

Hướng dẫn giải

a) Vì BE là phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$ nên $\widehat{\text{ABE}}=\widehat{\text{CBE}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ABC}}$ (1)

CF là phân giác $\widehat{\text{ACB}}$ của nên $\widehat{\text{ACF}}=\widehat{\text{FCB}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ACB}}$ (2)

Mà $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}$ (vì ∆ABC cân tại A) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{\text{ABE}}=\widehat{\text{ACF}}$

• Xét ∆ABE và ∆ACF có:

AB = AC (vì ∆ABC cân tại A),

$\widehat{\text{ABE}}=\widehat{\text{ACF}}$ (chứng minh trên),

AH là cạnh chung.

Do đó ∆ABE = ∆ACF (c.g.c)

Suy ra AE = AF (hai cạnh tương ứng)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của EF(4)

• Vì AB = AC và AF = AE (chứng minh trên)

Nên AB – AF = AC – AE

Hay BF = CE.

• Vì ∆ABE = ∆ACF (chứng minh trên)

Nên $\widehat{AEB}=\widehat{AFC}$(hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AEB}+\widehat{CEB}=180°$(hai góc kề bù)

$\widehat{AFC}+\widehat{BFC}=180°$(hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{CEB}=\widehat{BFC}$hay $\widehat{CEH}=\widehat{BFH}$

• Xét ∆BFH và ∆CEH có:

$\widehat{BFH}=\widehat{CEH}$(chứng minh trên),

BF = CE (chứng minh trên),

$\widehat{FBH}=\widehat{ECH}$(do $\widehat{\text{ABE}}=\widehat{\text{ACF}}$ ).

Do đó ∆BFH = ∆CEH (g.c.g)

Suy ra HF = HE (hai cạnh tương ứng)

Suy ra H nằm trên đường trung trực của EF(5)

Từ (4) và (5) suy ra A, H nằm trên đường trung trực của EF

Suy ra AH là đường trung trực của EF

Vậy AH đường trung trực của EF.

b) Vì ∆BFH = ∆CEH (chứng minh câu a)

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng)

Do đó H nằm trên trung trực của BC

Mặt khác: AB = AC (chứng minh câu a)

Nên A nằm trên trung trực của BC

Do đó AH là đường trung trực của BC.

Vậy AH là đường trung trực của BC.

Bài 10. Cho ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh: ∆BGE = ∆CGF.

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC (tính chất tam giác cân) (1)

Theo bài ta có BF và CE là đường trung tuyến của ∆ABC nên E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AC.

Suy ra $\text{AE = BE =}\frac{1}{2}\text{AB}$ (2)

Và $AF=\text{CF =}\frac{1}{2}\text{AC}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AE = BE = AF = CF

Xét ∆ABF và ∆ACE có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\hat{\text{A}}$ là góc chung,

AF = AE (chứng minh trên).

Do đó ∆ABF = ∆ACE (c.g.c)

Suy ra BF = CE (hai cạnh tương ứng) (3)

Và $\widehat{\text{ABF}}=\widehat{\text{ACE}}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{\text{EBG}}=\widehat{\text{FCG}}$

Vì G là trọng tâm của ∆ABC suy ra BG = $\frac{2}{3}\text{BF}$ và CG = $\frac{2}{3}\text{CE}$ (tính chất trọng tâm của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra BG = CG.

Xét ∆BGE và ∆CGF có:

$\widehat{\text{EBG}}=\widehat{\text{FCG}}$ (chứng minh trên),

BG = CG (chứng minh trên),

$\widehat{\text{BGE}}=\widehat{\text{CGF}}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆BGE = ∆CGF (g.c.g)

Vậy ∆BGE = ∆CGF.

Bài 11. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 9 cm; BM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác. Kẻ AH ⊥ BM tại H. Tính AM biết rằng S_DABG = 12 cm².

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC có BM là đường trung tuyến và G là trọng tâm nên ta có: $\text{BG =}\frac{2}{3}\text{BM}$ (1)

Ta có ${\text{S}}_{\Delta ABG}=\frac{1}{2}\text{AH.BG}$ (2)

$S_{\Delta ABM}=\frac{1}{2}\text{AH.BM}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\frac{{\text{S}}_{\Delta AB\text{G}}}{{\text{S}}_{\Delta AB\text{M}}}=$$\frac{\frac{1}{2}\text{AH.BG}}{\frac{1}{2}\text{AH.BM}}=\frac{\frac{1}{2}\text{AH.}\frac{2}{3}\text{BM}}{\frac{1}{2}\text{AH.BM}}=\frac{2}{3}$

Suy ra 2S_DABM = 3S_DABG

Do đó ${\text{S}}_{\Delta AB\text{M}}=\frac{3}{2}{\text{S}}_{\Delta AB\text{G}}=\frac{3}{2}.12=18{\text{(cm}}^2\text{)}$

Ta lại có ${\text{S}}_{\Delta AB\text{M}}=\frac{1}{2}\text{AB.AM}$ (vì ∆ABM vuông tại A)

Hay $18=\frac{1}{2}\mathrm{.9.}\text{AM}$

Suy ra AM = $\frac{18.2}{9}$ = 4 (cm)

Vậy AM = 4 cm.

Bài 12. Cho ∆ABC vuông tại A có I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác. Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến cạnh AB và AC. Chứng minh IE = IF = EA = FA.

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có: I là giao điểm của ba đường phân giác trong ∆ABC.

Do đó AI là phân giác $\widehat{\text{BAC}}$ hay $\widehat{\text{EAF}}$ .

Suy ra $\widehat{\text{EAI}}=\widehat{\text{FAI}}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ (tính chất tia phân giác)

Mà $\widehat{BAC}=90°$ nên $\widehat{\text{EAI}}=\widehat{\text{FAI}}=\frac{90°}{2}=45°$

∆AEI vuông tại E có $\widehat{\text{EAI}}=45°$ nên ∆AEI vuông cân tại E.

Suy ra EA = EI (tính chất tam giác cân) (1)

∆AFI vuông tại F có $\widehat{\text{FAI}}=45°$ nên ∆AFI vuông cân tại F.

Suy ra FA = FI (tính chất tam giác cân) (2)

Do I là giao điểm của ba đường phân giác trong ∆ABC và IE; IF lần lượt là khoảng cách từ I đến cạnh AB; AC (vì E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến cạnh AB và AC)

Nên IE = IF (tính chất ba đường phân giác trong tam giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra IE = IF = EA = FA.

Vậy IE = IF = EA = FA.

Bài 13. Cho ∆ABC có D là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Kẻ DE ⊥ AC tại E; DF ⊥ AB tại F và DM ⊥ BC tại M. Chứng minh rằng $\text{DA >}\frac{\text{AB + AC +BC}}{6}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có D là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC và DE ⊥ AC tại E; DF ⊥ AB tại F và DM ⊥ BC tại M.

Suy ra DF, DM, DE lần lượt là đường trung trực của AB, BC, AC.

Do đó F, M, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC

Suy ra $AF=\frac{1}{2}\text{AB, BM =}\frac{1}{2}\text{BC, CE =}\frac{1}{2}\text{AC}$

∆ADF vuông tại F nên DA > AF (vì cạnh huyền lớn nhất)

Suy ra $\text{DA >}\frac{1}{2}\text{AB}$ (1)

∆DBM vuông tại M nên DB > BM (vì cạnh huyền lớn nhất)

Suy ra $\text{DB >}\frac{1}{2}\text{BC}$ (2)

∆CDE vuông tại E nên DC > EC (vì cạnh huyền lớn nhất)

Suy ra $\text{DC >}\frac{1}{2}\text{AC}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\text{DA + DB + DC >}\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AC$

Hay $\text{DA + DB + DC >}\frac{1}{2}\text{(AB +}BC+AC\text{)}$

Vì D là giao điểm của các đường trung trực trong ∆ABC nên DA = DB = DC.

Do đó $\text{DA + DB + DC >}\frac{1}{2}\text{(AB +}BC+AC\text{)}$

Hay $\text{DA + DA + DA >}\frac{1}{2}\text{(AB +}BC+AC\text{)}$

Suy ra $\text{3DA >}\frac{1}{2}\text{(AB +}BC+AC\text{).}$

Suy ra $\text{DA >}\frac{\text{AB + BC +AC}}{6}.$

Vậy $\text{DA >}\frac{\text{AB + AC +BC}}{6}$ .

Bài 14. Cho ∆ABC có góc A là góc tù, gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác sao cho $\widehat{\text{BOC}}=84°$ . Tính $\widehat{\text{BAC}}$ .

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có: O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC.

Do đó OA = OB = OC (tính chất đường trung trực trong tam giác).

• Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O.

Suy ra $\widehat{\text{OBA}}=\widehat{\text{OAB}}$ (tính chất tam giác cân)

∆OAB có $\widehat{\text{BOA}}+\widehat{\text{OBA}}+\widehat{\text{OAB}}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{\text{BOA}}=180°-\widehat{\text{ABO}}-\widehat{\text{BAO}}$

Mà $\widehat{\text{OBA}}=\widehat{\text{OAB}}$ (chứng minh trên)

Nên $\widehat{\text{BOA}}=180°-2\widehat{\text{BAO}}$ (1)

• Xét ∆OAC có OA = OC nên ∆OAC cân tại O.

Suy ra $\widehat{\text{OCA}}=\widehat{\text{OAC}}$ (tính chất tam giác cân).

∆OAC có $\widehat{\text{COA}}+\widehat{\text{OCA}}+\widehat{\text{OAC}}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{\text{COA}}=180°-\widehat{\text{ACO}}-\widehat{\text{CAO}}$

Mà $\widehat{\text{OCA}}=\widehat{\text{OAC}}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{\text{COA}}=180°-2\widehat{\text{CAO}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\widehat{\text{BOA}}+\widehat{\text{COA}}=180°-2\widehat{\text{BAO}}+180°-2\widehat{\text{CAO}}$

Hay $\widehat{\text{BOC}}=360°-2(\widehat{\text{BAO}}+\widehat{\text{CAO}})$

Suy ra $84°=360°-2\widehat{\text{BAC}}$

Suy ra $2\widehat{\text{BAC}}=360°-84°=276°$

Suy ra $\widehat{\text{BAC}}=276°:2=138°$

Vậy $\widehat{\text{BAC}}=138°$ .

Bài 15. Cho ∆ABC cân tại A có đường cao AD. Kẻ DI ⊥ AB tại I, lấy điểm M trên AB sao cho I là trung điểm BM.

a) Chứng minh rằng: $\text{DM =}\frac{1}{2}\text{BC.}$

b) Gọi H là giao điểm của CM và AD. Chứng minh: H là trực tâm của ∆ABC.

Hướng dẫn giải

a) Theo bài ta có: DI ⊥ AB tại I mà I là trung điểm của BM (giả thiết)

Do đó DI là trung trực của BM.

Suy ra DB = DM (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

$\widehat{\text{ADB}}=\widehat{\text{ADC}}=90°$ (vì AD ⊥ BC tại D),

AB = AC (vì ∆ABC cân tại A),

AD là cạnh chung.

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng)

Suy ra D là trung điểm của BC.

Do đó $\text{BD =}\frac{1}{2}BC$ .

Mà DB = DM (chứng minh trên)

Suy ra $\text{DM =}\frac{1}{2}\text{BC}$

Vậy $\text{DM =}\frac{1}{2}\text{BC}$ .

b) Theo phần a ta có : DM = DB = DC

Xét ∆DBM có DM = DB suy ra ∆DBM cân tại D

Do đó $\widehat{\text{DBM}}=\widehat{\text{DMB}}$ (tính chất tam giác cân) (1)

Xét ∆DMC có DM = DC suy ra ∆DMC cân tại D

Do đó $\widehat{\text{DMC}}=\widehat{\text{DCM}}$ (tính chất tam giác cân) (2)

Xét ∆BMC có: $\widehat{\text{BMC}}+\widehat{\text{MBC}}+\widehat{\text{MCB}}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\widehat{\text{BMC}}+\widehat{\text{MBD}}+\widehat{\text{MCD}}=180°$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{\text{BMC}}+\widehat{\text{BMD}}+\widehat{\text{DMC}}=180°$

Hay $\widehat{\text{BMC}}+\widehat{\text{BMC}}=180°$

Suy ra $2\widehat{\text{BMC}}=180°$

Suy ra $\widehat{\text{BMC}}=90°$

Do đó CM ⊥ AB tại M.

Hay CM là đường cao của ∆ABC.

Xét ∆ABC có hai đường cao AD và CM cắt nhau tại H.

Suy ra H là trực tâm của ∆ABC (tính chất các đường cao trong tam giác).

Vậy H là trực tâm của ∆ABC.

Học tốt Toán 7 Chương 7

Các bài học để học tốt Chương 7 Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài tập cuối chương 7

• Giải sbt Toán 7 Bài tập cuối chương 7

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Lý thuyết Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---