Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Lý thuyết Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

1. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc

– Tính chất: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$, AB = A’B’, $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ thì DABC = DA’B’C’ (g.c.g).

Ví dụ: Cho tam giác ABC và DEF có $\hat{B}=\hat{E},\hat{A}=\hat{D},$ AB = ED. Biết $\hat{C}=42°,$ tính số đo góc F.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\hat{B}=\hat{E}$ (giả thiết),

AB = ED (giả thiết),

$\hat{A}=\hat{D}$ (giả thiết),

Do đó ∆ABC = ∆DEF (g.c.g).

Suy ra $\hat{C}=\hat{F}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\hat{C}=42°$ (giả thiết), do đó $\hat{F}=42°.$

Vậy $\hat{F}=42°.$

Ví dụ: Cho hình vẽ sau:

Chứng minh ∆AOB = ∆COD.

Hướng dẫn giải

Vì $\hat{B}=\hat{D}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Nên AB // CD (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra $\hat{A}=\hat{C}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆ABO và ∆CDO có:

$\hat{A}=\hat{C}$ (chứng minh trên),

AB = CD (giả thiết),

$\hat{B}=\hat{D}$ (giả thiết),

Do đó ∆AOB = ∆COD (g.c.g).

Vậy ∆AOB = ∆COD.

2. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông (hoặc cạnh huyền) và góc nhọn của tam giác vuông

2.1. Trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A}=\widehat{A\text{'}}=90°$, AB = A’B’, $\hat{B}=\widehat{B\text{'}}$ thì ∆ABC = ∆A’B’C’ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Ví dụ: Cho tam giác ABC có tia phân giác AD của $\widehat{BAC}$(D ∈ BC) và AD ⊥ BC. Chứng minh AB = AC.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

$\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$ (do AD ⊥ BC),

AD là cạnh chung,

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (do AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ ),

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy AB = AC.

2.2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A}=\widehat{A\text{'}}=90°$, BC = B’C’, $\hat{B}=\widehat{B\text{'}}$ thì ∆ABC = ∆A’B’C’ (cạnh huyền – góc nhọn).

Ví dụ: Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc đó. Gọi I là một điểm trên tia Oz (I khác O). Kẻ IM vuông góc với Ox (M ∈ Ox), IN vuông góc với Oy (N ∈ Oy). Biết độ dài đoạn thẳng IM là 2 cm, tính độ dài đoạn thẳng IN?

Hướng dẫn giải

Xét ∆OIM và ∆OIN có:

$\widehat{OMI}=\widehat{ONI}=90°,$

$\widehat{IOM}=\widehat{ION}$ (do Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ ),

OI là cạnh chung,

Do đó ∆OMI = ∆ONI (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra IM = IN (hai cạnh tương ứng)

Mà IM = 2 cm (giả thiết)

Nên IN = 2 cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng IN là 2 cm.

– Nhận xét: Độ dài các đoạn thẳng IM, IN gọi là khoảng cách từ điểm I lần lượt đến hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Như vậy ta có thể nói: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ: Cho góc xOy nhọn. Gọi A là một điểm nằm trong góc xOy. Kẻ AB vuông góc với Ox (B ∈ Ox), AC vuông góc với Oy (C ∈ Oy). Biết AB = AC.Chứng minh rằng điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Xét ∆OAB và ∆OAC có:

$\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90°,$

AB = AC (giả thiết),

OA là cạnh chung.

Do đó ∆ABO = ∆ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{BOA}=\widehat{AOC}$(hai góc tương ứng).

Do đó OA là tia phân giác của $\widehat{xOy}.$

Nên A là điểm thuộc tia phân giác của góc xOy.

Vậy điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

– Nhận xét: Nếu một điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

3. Vẽ tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó

Ví dụ: Để vẽ tam giác ABC có AB = 5 cm, $\hat{A}=60°,\hat{B}=70°$bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = 5 cm

– Bước 2: Vẽ các tia Ax, By sao cho $\widehat{BAx}=60°,\widehat{ABy}=70°$

– Bước 3: Vẽ C là điểm chung của hai tia Ax và By. Ta nhận được tam giác ABC.

Bài tập Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

Bài 1. Có ba trạm quan sát A, B, C trong đó trạm C ở giữa hồ như hình vẽ.

Người ta muốn đo khoảng cách từ A đến C và từ B đến C. Do không thể đo trực tiếp được các khoảng cách trên nên hãy tìm cách xác định khoảng cách đó?

Hướng dẫn giải

– Để đo khoảng cách từ trạm A, B đến trạm C, ta làm như sau:

+ Kẻ tia Ax, By sao cho $\widehat{BAx}=65°,\widehat{ABy}=70°$, hai tia này cắt nhau tại O.

+ Đo khoảng cách AO, BO ta được khoảng cách từ AC, BC.

– Chứng minh cách làm trên:

Xét ∆ABC và ∆ABO có:

$\widehat{CBA}=\widehat{ABO}\left(=70°\right)$

AB là cạnh chung,

$\widehat{CAB}=\widehat{BAO}\left(=65°\right)$,

Do đó ∆ABC = ∆ABO (g.c.g).

Suy ra AC = AO, BC = BO (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy ta xác định được khoảng cách từ trạm A, trạm B đến trạm C bằng cách đo khoảng cách từ A và B đến O.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh HK, BC tại D và E. Chứng minh rằng:

a) HK song song BC.

b) A là trung điểm của DE.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆ABC và ∆AHK có:

AB = AH (giả thiết),

$\widehat{CAB}=\widehat{KAH}$ (hai góc đối đỉnh),

AC = AK (giả thiết),

Do đó ∆ABC = ∆AHK (c.g.c).

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{AHK}$(hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Nên HK̸̸ ̸̸BC (dấu hiệu nhận biết).

Vậy HK̸̸ ̸̸BC.

b) Xét ∆ABE và ∆AHD có:

$\widehat{EAB}=\widehat{DAH}$ (hai góc đối đỉnh),

AB = AH (giả thiết),

$\widehat{ABE}=\widehat{AH\text{D}}$ (vì $\widehat{CAB}=\widehat{KAH}$ ),

Do đó ∆ABE = ∆AHD (g.c.g).

Suy ra AE = AD (hai cạnh tương ứng).

Do đó A là trung điểm của DE.

VậyA là trung điểm của DE.

Bài 3. Cho tam giác DEG vuông tại D có DE = DG. Qua D kẻ đường thẳng xy (đường thẳng xy không cắt đoạn thẳng EG). Kẻ EM, GN vuông góc với đường thẳng xy. Chứng minh rằng MN = EM + GN.

Hướng dẫn giải

Vì ∆DEM vuông tại M nên $\widehat{ME\text{D}}+\widehat{M\text{D}E}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra $\widehat{ME\text{D}}=90°-\widehat{M\text{D}E}$ (1)

Ta có $\widehat{E\text{D}N}+\widehat{M\text{D}E}=180°$(hai góc kề bù)

Hay $\widehat{E\text{DG}}+\widehat{G\text{D}N}+\widehat{M\text{D}E}=180°$

Suy ra $\widehat{G\text{D}N}=180°-\widehat{\text{EDG}}-\widehat{M\text{D}E}$

Do đó $\widehat{G\text{D}N}=180°-90°-\widehat{M\text{D}E}=90°-\widehat{M\text{D}E}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ME\text{D}}=\widehat{\text{GDN}}$

Xét ∆MDE và ∆NGD có:

$\widehat{DME}=\widehat{DNG}\left(=90°\right)$,

$\widehat{ME\text{D}}=\widehat{\text{GDN}}$ (chứng minh trên),

DE = DG (giả thiết),

Do đó ∆MDE = ∆NGD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = ND, MD = NG (các cặp cạnh tương ứng).

Ta có MN = MD + ND = NG + ME.

Vậy MN = NG + ME.

Học tốt Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

Các bài học để học tốt Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

• Giải sbt Toán 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 7 Bài 7: Tam giác cân

• Lý thuyết Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

• Lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Lý thuyết Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---