Tam giác cân (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 7: Tam giác cân hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Tam giác cân (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Lý thuyết Tam giác cân

1. Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Khi đó, ta gọi:

• Tam giác ABC là tam giác cân tại A;

• AB, AC là các cạnh bên và BC là cạnh đáy;

• $\hat{\text{B}}\text{,}\hat{\text{C}}$ là các góc ở đáy và $\hat{\text{A}}$ là góc ở đỉnh.

Ví dụ: Tam giác DEF như hình vẽ.

Tam giác DEF là tam giác cân không? Vì sao? Nếu là tam giác cân hãy nêu các cạnh bên, cạnh đáy, các góc ở đáy và góc ở đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải:

+ Quan sát hình vẽ ta thấy DE = DF = 8 cm

Xét ∆DEF ta có: DE = DF = 8 cm

Nên ∆DEF cân tại D

Vậy ∆DEF là tam giác cân tại D.

+ Tam giác DEF cân tại D có:

• DE, DF là các cạnh bên và EF là cạnh đáy;

• $\hat{\text{E}}\text{,}\hat{\text{F}}$ là các góc ở đáy và $\hat{\text{D}}$ là góc ở đỉnh.

2. Tính chất

Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Ví dụ:

Cho ∆ABC cân tại A có $\hat{\text{B}}=\hat{\text{C}}$ (hình 2)

Ví dụ: Cho ∆MNP có MN = MP.

a) Chứng minh $\hat{\text{N}}=\hat{\text{P}}.$

b) Giả sử $\hat{\text{M}}=80°$. Tính số đo góc N và góc P.

Hướng dẫn giải

a) Vì ∆MNP có MN = MP nên ∆MNP cân tại M

Do đó $\hat{\text{N}}=\hat{\text{P}}$ (tính chất tam giác cân)

Vậy $\hat{\text{N}}=\hat{\text{P}}$

b) ∆MNP có $\hat{\text{M}}+\hat{\text{N}}+\hat{\text{P}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Mà $\hat{\text{M}}=80°$ nên ta có: $80°+\hat{\text{N}}+\hat{\text{P}}=180°$

Hay $\hat{\text{N}}+\hat{\text{P}}=180°-80°=100°$ (1)

Theo phần a ta có: $\hat{\text{N}}=\hat{\text{P}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{\text{N}}=\hat{\text{P}}=\frac{100°}{2}=50°$

Vậy $\hat{\text{N}}=\hat{\text{P}}=50°.$

Chú ý:

+ Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

+ Trong tam giác vuông cân, mỗi góc ở đáy bằng 45°.

Ví dụ:

∆ABC vuông cân tại A (hình vẽ bên dưới) có: $\left(\begin{array}{c}\text{AB = AC}\\ \hat{\text{B}}=\hat{\text{C}}=45°\end{array}\right)$

3. Dấu hiệu nhận biết

– Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Chú ý:

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

+ Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình vẽ dưới đây.

Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC có: $\hat{\text{A}}+\hat{\text{B}}+\hat{\text{C}}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $120°+30°+\hat{\text{C}}=180°$

Suy ra: $\hat{\text{C}}=180°-120°-30°=30°$

Xét ∆ABC có $\hat{\text{B}}=\hat{\text{C}}=30°$

Do đó ∆ABC cân tại A (dấu hiệu nhận biết)

Vậy ∆ABC cân tại A.

Ví dụ: Cho tam giác DEF có DE = DF.

a) Chứng minh: ∆DEF cân tại D.

b) Giả sử $\hat{\text{D}}=60°$. Chứng minh: ∆DEF là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

a) Vì ∆DEF có DE = DF nên ∆DEF cân tại D

Vậy ∆DEF cân tại D.

b) Theo phần a ta có: ∆DEF cân tại D

Lại có $\hat{\text{D}}=60°$

Do đó tam giác DEF là tam giác đều.

4. Vẽ tam giác cân

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ tam giác HEG cân tại H có cạnh bên HE = HG = a

Để vẽ tam giác HEG, ta làm theo các bước:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng EG.

– Bước 2: Vẽ cung tròn tâm E bán kính a và cung tròn tâm G bán kính a. Hai cung tròn cắt nhau tại H.

– Bước 3: Vẽ các đoạn HE, HG. Ta nhận được tam giác HEG cân tại H.

Bài tập Tam giác cân

Hướng dẫn giải

- Hình a):

Xét ∆ABE có AB = AE nên ∆ABE cân tại A

∆ABE cân tại A có $\hat{\text{B}}=60°$ nên ∆ABE là tam giác đều.

Do ∆ABE đều nên $\hat{E}=60°$

Xét ∆ABC và ∆AED có:

AB = AE (giả thiết),

$\hat{\text{B}}=\hat{\text{C}}$ (= 60°),

BC = ED (giả thiết)

Do đó ∆ABC = ∆AED (c.g.c)

Suy ra: AC = AD (hai cạnh tương ứng)

∆ACD có AC = AD nên ∆ACD cân tại A.

Vậy hình a) có tam giác đều ABE và tam giác ACD cân tại A.

- Hình b):

∆NQP có: $\widehat{\text{QNP}}+\widehat{\text{NQP}}+\hat{\text{P}}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $36°+72°+\hat{\text{P}}=180°$

Suy ra: $\hat{\text{P}}=180°-36°-72°=72°$

Xét ∆NQP có $\widehat{\text{NQP}}=\hat{\text{P}}=72°$ nên ∆NQP cân tại N

Ta có $\widehat{\text{MNP}}=\widehat{\text{MNQ}}+\widehat{\text{QNP}}=36°+36°=72°$

Xét ∆MNP có $\widehat{\text{MNP}}=\hat{\text{P}}=72°$nên ∆MNP cân tại M

∆MNP có: $\hat{\text{M}}+\widehat{\text{MNP}}+\widehat{\text{MPN}}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $\hat{\text{M}}=180°-72°-72°=36°$

Xét ∆MQN có: $\hat{\text{M}}=\widehat{MNQ}=36°$ nên tam giác MQN cân tại Q.

Vậy hình b) có 3 tam giác cân là: ∆MNP cân tại M, ∆MNQ cân tại Q, ∆NPQ cân tại N.

- Hình c)

∆GIH có $\widehat{\text{IGH}}+\hat{\text{H}}+\widehat{\text{HIG}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $\widehat{\text{IGH}}=180°-\hat{\text{H}}-\widehat{\text{GIH}}=180°-45°-45°=90°$

Xét ∆IGH có $\widehat{\text{GIH}}=\hat{\text{H}}=45°$ nên ∆IGH cân tại G

∆IGH cân tại G có $\widehat{IGH}=90°$ nên ∆IGH vuông cân tại G

Xét ∆KGI và ∆HIG có:

KG = HI (giả thiết),

$\widehat{\text{KGI}}=\widehat{\text{HIG}}=45°$,

GI là cạnh chung

Do đó ∆KGI = ∆HIG (c.g.c)

Suy ra $\widehat{\text{KIG}}=\widehat{\text{HGI}}=90°$(hai góc tương ứng bằng nhau)

Và $\hat{\text{K}}=\hat{\text{H}}=45°$(hai góc tương ứng bằng nhau)

Xét ∆IKG có $\hat{\text{K}}=\widehat{\text{IGK}}=45°$ nên ∆IKG cân tại I

∆IKG cân tại I có $\widehat{\text{KIG}}=90°$ nên ∆IKG vuông cân tại I.

Vậy hình c) có hai tam giác vuông cân là ∆GIH vuông cân tại G, ∆IKG vuông cân tại I.

Bài 2. Tìm số đo x trên hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Lại có $\widehat{BAC}=60°$ nên ∆ABC đều.

Do đó $\widehat{ACB}=60°$

Xét ∆CAD có CA = CD nên tam giác CAD cân tại C

Do đó $\widehat{\text{CAD}}=\hat{\text{D}}=x$ (tính chất tam giác cân)

Tam giác CAD có: $\widehat{ACB}=\widehat{CAD}+\widehat{CDA}$ (góc ngoài của một tam giác)

Hay 60° = x + x

2x = 60°

x = 60° : 2 = 30°

Vậy x = 30°.

Bài 3. Cho ABC có các tia phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I.

Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng MN = MB + NC.

Hướng dẫn giải

Vì MN//BC nên ${\hat{I}}_1={\hat{B}}_1$( hai góc ở vị trí so le trong) (1)

Và ${\hat{I}}_2={\hat{C}}_1$ (hai góc ở vị trí so le trong) (2)

Theo bài ra ta có: BI là tia phân giác của $\widehat{MBC}$

Do đó ${\hat{B}}_1={\hat{B}}_2$ (3)

Từ (1) và (3) suy ra ${\hat{I}}_1={\hat{B}}_2$

Vì ${\hat{I}}_1={\hat{B}}_2$ nên tam giác MIB cân tại M.

Nên ta có MB = MI.

Do CI là tia phân giác của $\widehat{NCB}$ nên ${\hat{C}}_1={\hat{C}}_2$ (4)

Từ (2) và (4) ta có: ${\hat{I}}_2={\hat{C}}_1$

Vì vậy tam giác NIC cân tại N.

Nên ta có NI = NC

Ta có I nằm giữa M và N nên MN = MI + IN

Hay MN = MB + NC (vì MB = MI; NI = NC).

Vậy MN = MB + NC.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại D, cắt AC tại E. Trên AB lấy điểm F sao cho AE = AF. Chứng minh:

a) $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEC}};$

b) ∆DBF là tam giác cân;

c) DB = DE.

Hướng dẫn giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A có: $\widehat{\text{ABC}}+\widehat{\text{ACB}}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau) (1)

Xét ∆DEC vuông tại D có: $\widehat{\text{DEC}}+\widehat{\text{DCE}}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Hay $\widehat{\text{DEC}}+\widehat{\text{ACB}}=90°$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEC}}$

Vậy $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEC}}$.

b) Xét ∆DFA và ∆DEA có:

AF = AE (giả thiết),

$\widehat{\text{DAF}}=\widehat{\text{DAE}}$(vì AD là phân giác của $\widehat{\text{BAC}}$),

DA là cạnh chung

Suy ra ∆DFA = ∆DEA (c.g.c)

Suy ra $\widehat{\text{DFA}}=\widehat{\text{DEA}}$ (hai góc tương ứng) (3)

Ta có $\widehat{\text{DFA}}+\widehat{\text{DFB}}=180°$ (hai góc kề bù) (4)

Ta lại có: $\widehat{\text{DEA}}+\widehat{\text{DEC}}=180°$ (hai góc kề bù) (5)

Từ (3); (4) và (5) suy ra $\widehat{\text{DFB}}=\widehat{\text{DEC}}$

Mà theo phần a: $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEC}}$

Do đó $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DFB}}$ hay $\widehat{\text{FBD}}=\widehat{\text{DFB}}$

Suy ra ∆DBF cân tại D

Vậy ∆DBF cân tại D.

c) Theo phần b ta có: ∆DBF cân tại D

Suy ra DB = DF (tính chất tam giác cân) (6)

Ta lại có ∆DFA = ∆DEA (chứng minh phần a)

Do đó DF = DE (hai cạnh tương ứng) (7)

Từ (6) và (7) suy ra: DB = DE.

Vậy DB = DE.

Học tốt Tam giác cân

Các bài học để học tốt Tam giác cân Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 7: Tam giác cân

• Giải sbt Toán 7 Bài 7: Tam giác cân

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

• Lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Lý thuyết Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---