Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Lý thuyết Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. Đường trung tuyến của tam giác

– Trong tam giác ABC (hình bên dưới), đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).

Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến của ∆ABC.

Ví dụ: Quan sát hình bên dưới và cho biết trong hình có bao nhiêu đường trung tuyến?

Hướng dẫn giải

Quan sát hình vẽ ta có:

• A là đỉnh của ∆ABC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của ∆ABC.

• C là đỉnh của ∆ABC và H là trung điểm của AB nên đoạn thẳng CH là đường trung tuyến của ∆ABC.

• M là đỉnh của ∆ABM và H là trung điểm của AB do đó MH là đường trung tuyến của ∆ABM.

• H là đỉnh của ∆HBC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng HM là đường trung tuyến của ∆HBC.

Vậy trong hình vẽ trên có tất cả 4 đường trung tuyến.

– Chú ý: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

Ví dụ: Tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến là AM, BK và CN.

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

– Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.

Chú ý: Trong tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến AM, BK, CN cùng đi qua điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G.

Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Nhận xét: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Lưu ý: Trong ∆ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm ta có:

$\frac{\text{GM}}{\text{AM}}=\frac{1}{3},\frac{\text{GM}}{\text{GA}}=\frac{1}{2}$

Ví dụ: Cho ∆ABC như hình vẽ, biết AM = 18 cm và BN = 21 cm.

a) Chứng minh: G là trọng tâm của ∆ABC.

b) Tính độ dài AG, GN.

Hướng dẫn giải

Theo hình vẽ trên ta có:

A là đỉnh của ∆ABC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của ∆ABC.

B là đỉnh của ∆ABC và N là trung điểm của AC nên đoạn thẳng BN là đường trung tuyến của ∆ABC.

Mà hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Vậy G là trọng tâm của ∆ABC.

b) Theo phần a ta có: G là trọng tâm của ∆ABC nên $\text{AG =}\frac{2}{3}\text{AM}$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay $\text{AG =}\frac{2}{3}.18=12\left(cm\right)$

Vì BN là đường trung tuyến của ∆ABC và G là trọng tâm của ∆ABC

Suy ra $\frac{\text{GN}}{\text{BN}}=\frac{1}{3}$ hay $\text{GN =}\frac{1}{3}\text{BN =}\frac{1}{3}.21=7\left(\text{cm}\right)$

Vậy AG = 12 cm, GN = 7 cm.

Bài tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 1. Cho ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh: ∆BGE = ∆CGF.

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC (tính chất tam giác cân) (1)

Theo bài ta có BF và CE là đường trung tuyến của ∆ABC nên E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AC.

Suy ra $\text{AE = BE =}\frac{1}{2}\text{AB}$ (2)

Và $AF=\text{CF =}\frac{1}{2}\text{AC}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AE = BE = AF = CF

Xét ∆ABF và ∆ACE có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\hat{\text{A}}$ là góc chung,

AF = AE (chứng minh trên).

Do đó ∆ABF = ∆ACE (c.g.c)

Suy ra BF = CE (hai cạnh tương ứng) (3)

Và $\widehat{\text{ABF}}=\widehat{\text{ACE}}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{\text{EBG}}=\widehat{\text{FCG}}$

Vì G là trọng tâm của ∆ABC suy ra BG = $\frac{2}{3}\text{BF}$ và CG = $\frac{2}{3}\text{CE}$ (tính chất trọng tâm của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra BG = CG.

Xét ∆BGE và ∆CGF có:

$\widehat{\text{EBG}}=\widehat{\text{FCG}}$ (chứng minh trên),

BG = CG (chứng minh trên),

$\widehat{\text{BGE}}=\widehat{\text{CGF}}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆BGE = ∆CGF (g.c.g)

Vậy ∆BGE = ∆CGF.

Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 9 cm; BM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác. Kẻ AH ⊥ BM tại H. Tính AM biết rằng S_DABG = 12 cm².

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC có BM là đường trung tuyến và G là trọng tâm nên ta có: $\text{BG =}\frac{2}{3}\text{BM}$ (1)

Ta có ${\text{S}}_{\Delta ABG}=\frac{1}{2}\text{AH.BG}$ (2)

$S_{\Delta ABM}=\frac{1}{2}\text{AH.BM}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\frac{{\text{S}}_{\Delta AB\text{G}}}{{\text{S}}_{\Delta AB\text{M}}}=$$\frac{\frac{1}{2}\text{AH.BG}}{\frac{1}{2}\text{AH.BM}}=\frac{\frac{1}{2}\text{AH.}\frac{2}{3}\text{BM}}{\frac{1}{2}\text{AH.BM}}=\frac{2}{3}$

Suy ra 2S_DABM = 3S_DABG

Do đó ${\text{S}}_{\Delta AB\text{M}}=\frac{3}{2}{\text{S}}_{\Delta AB\text{G}}=\frac{3}{2}.12=18{\text{(cm}}^2\text{)}$

Ta lại có ${\text{S}}_{\Delta AB\text{M}}=\frac{1}{2}\text{AB.AM}$ (vì ∆ABM vuông tại A)

Hay $18=\frac{1}{2}\mathrm{.9.}\text{AM}$

Suy ra AM = $\frac{18.2}{9}$ = 4 (cm)

Vậy AM = 4 cm.

Bài 3. Cho ∆ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AO. Trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho OA = OD. Chứng minh rằng: AC // BD.

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có AO là trung tuyến của ∆ABC nên BO = CO.

Xét ∆AOC và ∆DOB có:

AO = DO (giả thiết),

$\widehat{\text{AOC}}=\widehat{\text{DOB}}$ (hai góc đối đỉnh),

OC = OB (chứng minh trên).

Do đó ∆AOC = ∆DOB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{\text{CAO}}=\widehat{\text{BDO}}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{CAD}=\widehat{BDA}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Suy ra AC // BD

Vậy AC // BD.

Bài 4. Cho ∆ABC có hai tiếp tuyến BM và CN cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh rằng: BC < $\frac{2}{3}\left(\text{BM + CN}\right).$

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có: G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\text{BG =}\frac{2}{3}\text{BM; CG =}\frac{2}{3}\text{CN}$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Xét ∆BGC ta có: BG + CG > BC (bất đẳng thức tam giác)

Hay $\frac{2}{3}\text{BM +}\frac{2}{3}\text{CN > BC}$

Suy ra BC < $\frac{2}{3}\left(\text{BM + CN}\right)$

Vậy BC < $\frac{2}{3}\left(\text{BM + CN}\right).$

Học tốt Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Các bài học để học tốt Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

• Giải sbt Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Lý thuyết Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

• Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 7

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---