Các dạng bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải (hay, chi tiết)

• Lý thuyêt bài tập về hàm số bậc nhất
• Các dạng bài tập về hàm số bậc nhất
• Bài tập tự luyện về hàm số bậc nhất

Các dạng bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải

1. Lý thuyết:

a. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a #0)

+) Tập xác định: D=R.

+) Sự biến thiên:

Với a > 0 hàm số đồng biến trên R. Ta có bảng biến thiên:

Với a < 0 hàm số nghịch biến trên  . Ta có bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này cắt trục tung tại điểm A(0; b) và cắt trục hoành tại điểm B.

b. Hàm số hằng y = b.

+) Tập xác định: D=R.

+) Đồ thị:

Khi a = 0 hàm số y = ax + b trở thành hàm hằng y = b. 

Đồ thị hàm số y = b là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành, cắt trục tung tại điểm A(0; b). Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng y = b.

c. Hàm số y = |x|

+) Tập xác định: D=R.

+) Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta có: 

y= |x| =

+) Sự biến thiên:

Hàm số y = |x| nghịch biến trên khoảng (-;0) và đồng biến trên khoảng (0;+).

Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Hàm số y = |x| là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng.

Trong nửa khoảng [0;+] đồ thị hàm số y = |x| trùng với đồ thị hàm số y = x.

Trong khoảng (-;0) đồ thị hàm số y = |x| trùng với đồ thị hàm số y = -x.

2. Các dạng bài tập:

Dạng 2.1: Xác định hàm số y = ax + b (a#0).

a. Phương pháp giải:

Để xác định hàm số bậc nhất ta thực hiện theo các bước sau:

+) Giả sử hàm số cần tìm có dạng y = ax + b (a#0).

+) Dựa vào giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ẩn a, b.

+) Giải hệ phương trình để tìm ẩn số a, b và suy ra hàm số cần tìm.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d, tìm hàm số đó biết:

a. d đi qua điểm A(-2; 1) và B(1; -2).

b. d cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3 và đi qua điểm M(-2; 4)

Hướng dẫn:

a. Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng: y = ax + b .

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(-2; 1) và B(1; -2) nên ta có: 

Vậy hàm số cần tìm là: y= -x-1

b. Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng: y = ax + b (a#0).

Vì d cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3 nên d đi qua A(0; 3).

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(0; 3) và M(-2; 4) nên ta có:

Vậy hàm số cần tìm là: y= .

Ví dụ 2: Cho hàm số bậc nhất y = f(x). Tìm hàm số đó biết f(-1) = 2 và f(2) = 3.

Hướng dẫn:

Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng: y = f(x) = ax + b (a#0).

Theo đề bài, f(-1) = 2 và f(2) = -3 nên ta có hệ phương trình: 

Vậy hàm số cần tìm là: y=

Dạng 2.2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

a. Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d': y = a'x + b'. Khi đó:

+) d//d'a=a' và b#b'.  

+) dd'a.a' = -1

+) dd' a=a' và b=b'

+) dd'a#a'. Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:  .

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d, hãy xác định hàm số biết rằng:

a. d đi qua điểm A(3; -2), đồng thời song song với d’: 3x - 2y + 1 = 0.

b. d đi qua B(2; -1) và vuông góc với d’: y = 4x + 3.

Hướng dẫn:

a. Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng: y = ax + b (a#0).

Ta biến đổi d’ về dạng: y = 

Do d song song d’, suy ra: (1)

Lại có d đi qua điểm A(3; -2), suy ra: -2 = 3a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Vậy hàm số cần tìm là: y=

b. Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng: y = ax + b (a#0).

Do d đi qua điểm B(2; -1) nên: -1 = 2a + b (1)

Lại có d vuông góc d’: y = 4x + 3, suy ra: 4a = -1a= (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

Vậy hàm số cầm tìm là: y =

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có phương trình: mx + (m-1)y - 2 (m+2) = 0, 3mx - (3m+1)y - 5m -4 = 0. Xác định vị trí tương đối của  d₁ và d₂ trong trường hợp m= .

Hướng dẫn:

Khi m= ta có d_1:  =0y= x-7;

d₂: x - 2y -=0y = x-

Ta có:=và -7#suy ra hai đường thẳng song song với nhau.

Dạng 2.3: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

a. Phương pháp giải:

Cho hàm số |ax + b| (a#0), ta có: y = |ax + b| =

Do đó, để vẽ đồ thị của hàm số y = |ax + b| ta sẽ vẽ hai đường thẳng y=ax+b và y=-ax-b, rồi xóa đi phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm phía trên trục hoành chính là đồ thị của hàm số cần tìm.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau

a. y = 

b. y = |x-1| 

Hướng dẫn:

a. Đồ thị hàm số y = 2x là đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và .

Đồ thị hàm số y = x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm C(0; 1) và D(-1; 0).

Ta vẽ đường thẳng y = 2x với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x1 và vẽ đường thẳng y = x + 1 với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x < 1.

b. Ta có: y = |x - 1| = 

Với x1 đồ thị hàm số y = x - 1 là phần đường thẳng nằm phía trên trục hoành và đi qua hai điểm (1; 0); (2; 1).

Với x<1 đồ thị hàm số y = -x + 1 là phần đường thẳng nằm phía trên trục hoành và đi qua hai điểm (1; 0); (0; 1).

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = |x + 5|. Tìm giá trị của x để f(x) = 2.

Hướng dẫn:

Ta có: f(x) = 2|x + 5| = 2

Vậy với x = -3 hoặc x = -7 thì f(x) = 2.

3. Bài tập tự luyện:

a. Tự luận:

Câu 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;1).

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: y = ax + b (a#0).

Đường thẳng đi qua hai điểm A(-1;2), B(3;1) nên ta có:  .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y =.

Câu 2: Tìm m để hàm số y = (3-m)x + 2 nghịch biến trên R.

Hướng dẫn:

Hàm số y = (3-m)x + 2 có dạng hàm số bậc nhất.

Để hàm số nghịch biến trên R thì 3-m<0m>3.

Câu 3: Tìm m để hàm số y = (m-1)x - đồng biến trên R

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định của hàm số là 2 - m0m2  (*).

Hàm số y = (m-1)x -có dạng hàm số bậc nhất nên hàm số đồng biến trên R khi m -1 > 0 m>1. Kết hợp với điều kiện (*), ta được 1<m2

Vậy với 1<m2  thì hàm số đã cho đồng biến trên R

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng y = -3x + 2 và y = (m²-4)x -2m song song với nhau?

Hướng dẫn:

Hai đường thẳng  y = -3x + 2 và y = (m²-4)x -2m song song với nhau

Câu 5: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = x + 2 và y =x + 3?

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:

x + 2 =x + 3 x =

Thay  x = vào y = x + 2 suy ra y = . 

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là .

Câu 6: Tìm m để ba đường thẳng d₁ : y = 2x - 1, d₂ : y = 8 - x, d₃: y = (3-2m)x + 2,   đồng quy.

Hướng dẫn:

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

 Suy ra A(3;5).

Để d₁, d₂ , d₃ đồng quy thì A(3;5)d₃. Do đó, ta có:

(3-2m).3 + 2 = 5 m = 1.

Câu 7: Đồ thị hàm số y = 3x + 2 cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B. Tính diện tích tam giác OAB.

Hướng dẫn:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là:. Do đó OA =

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là: B(0;2). Do đó OB = 2. 

Diện tích tam giác OAB là: OA.OB = . .2 =   .

Câu 8: Cho hàm số y = x - |x|. Trên đồ thị của hàm số lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lượt là -2 và 1. Hãy xác định phương trình đường thẳng AB.

Hướng dẫn:

Khi x = -2y = -2 - |-2| = -4 A(-2;-4).

Khi x = 1y = 1 - |1| = 0 B(1;0).

Phương trình đường thẳng AB có dạng: y = ax + b (a#0).

A(-2;-4)AB -4 = -2a + bb = 2a - 4  (1)

B(1;0)AB 0 = a + b  (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 = 3a - 4a = b =

Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = .

Câu 9: Vẽ đồ thị hàm số y = |x - 5|

Hướng dẫn:

y = |x - 5| =

Suy ra đồ thị hàm số là sự kết hợp giữa đồ thị hàm số y = x -5 (ứng với phần đồ thị khi x5 ) và đồ thị hàm số y = -x + 5 (ứng với phần đồ thị khi x<5 ).

Câu 10:Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào?

 

Hướng dẫn:

Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax + b (a#0).

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (1;0), (0;-2) nên ta có:

Vậy hàm số cần tìm là: y = 2x - 2.

b. Trắc nghiệm:

Câu 1: Cho hàm số y = ax + b (a#0). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến khi a>0.

B. Hàm số đồng biến khi a<0.

C. Hàm số đồng biến khi x>.      

D. Hàm số đồng biến khi x<

Hướng dẫn:

Chọn A.

Hàm số bậc nhất y = ax + b (a#0) đồng biến khi a>0.

Câu 2: Đồ thị của hàm số y = + 2 là hình nào dưới đây?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn:

Chọn A.

ChoĐồ thị hàm số đi qua hai điểm (0;2), (4;0).

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R

A. y =x - 2.        

B. y = 2

C. y = x+3.      

D. y = 2x + 3.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Chỉ có hàm số y=x + 3 có hệ số a = <0 nên hàm số nghịch biến trên R.

Câu 4: Cho hai đường thẳng d: y = (m² - 3m)x + 3 và d': y = -2x + m + 1 . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hai đường thẳng song song với nhau?

A. 0.  

B. 1.   

C. 2.   

D. Vô số.

Hướng dẫn:

Chọn B.

(d) // (d’) khi và chỉ khi

Vậy có 1 giá trị của tham số m để hai đường thẳng song song với nhau.

Câu 5: Cho hai đường thẳng d₁ : y =x + 100 và d₂ : y = -x + 100. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.  d₁ và d₂ trùng nhau.             

B. d₁ và d₂ cắt nhau và không vuông góc.

C. d₁ và d₂ song song với nhau. 

D. d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Ta có: suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Do#-1nên hai đường thẳng không vuông góc.

Câu 6: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(5; 2) và B(-3; 2) là:

A. y = 5.      

B. y = -3.     

C. y = 5x + 2.        

D. y = 2.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b (a#0).

Đường thẳng đi qua hai điểm A(5; 2) và B(-3; 2)  nên ta có:.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 2.

Câu 7: Đồ thị hàm số nào sau đây song song với trục hoành?

A. y = 4x - 1.         

B. y = 5 - 2x.         

C. y = -2.     

D. x = 2.

Hướng dẫn:

Chọn C.

y = -2 là hàm hằng, đồ thị có tính chất song song với trục hoành.

Câu 8: Hàm số y = |x + 2| - 4x  bằng hàm số nào sau đây?

Hướng dẫn:

Chọn D.

y = |x + 2| - 4x =

Câu 9: Hàm số y = x + |x|  bằng hàm số nào dưới đây?

Hướng dẫn:

Chọn C.

y = x + |x| =

Câu 10: Cho hàm số   có đồ thị là hình dưới đây. Giá trị của a và b là:

 

A. a = -2 và b = 3.

B. a =  và b = 2.        

C. a = -3 và b = 3.          

D. a =  và b = 3.

Hướng dẫn :

Chọn D.

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (-2;0), (0;3) nên ta có:

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Các dạng bài tập về hàm số bậc hai và cách giải
• Đại cương về phương trình và cách giải
• Phương trình quy về phương trình bậc hai và cách giải
• Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cách giải
• Các dạng toán về hệ phương trình và cách giải

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---