Phương trình đường elip và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

• Lý thuyêt bài tập Phương trình đường elip
• Các dạng bài tập Phương trình đường elip
• Bài tập tự luyện Phương trình đường elip

Phương trình đường elip và cách giải bài tập

A. Lí thuyết tổng hợp. 

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F₁ và F₂ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F₁F₂ . Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F₂M  = 2a.

- Các thành phần của Elip: Trong mặt phẳng Oxy

+ Hai tiêu điểm: (-c; 0) và (c; 0)

+ Bốn đỉnh: A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; -b) và B₂(0; b)

+ Độ dài trục lớn: A₁A₂ = 2a

+ Độ dài trục nhỏ: B₁B₂ = 2b

+ Tiêu cự: F₁F₂ = 2c

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁ và F_{2 .}Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F₁M + F₂M  = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho F₁(-c; 0) và F₂(c; 0). Khi đó ta có: 

M (x; y) (E) = 1 với b² = a² - c²

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip. 

- Hình dạng của elip: Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ.

- Liên hệ giữa đường tròn và đường elip: 

+ Từ hệ thức b² = a² - c² ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn 

+ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² = a². Với mỗi điểm M (x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’; y’) sao cho:   với (0 < b < a)  thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình:

 = 1 là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

B. Các dạng bài

Dạng 1: Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip.

Phương pháp giải: 

Cho elip (E) có phương trình = 1

- Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A₁A₂ = 2a

- Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B₁B₂ = 2b

- Tiêu cự của (E): F₁F₂ = 2c = 2 

- Tiêu điểm của (E): F₁(-c; 0) và F₂(c; 0) với c =  

- Tâm sai của (E): e = < 1 với c =  

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Xác định độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình:  = 1.

Lời giải:

Xét phương trình elip (E) :  = 1, ta có:

a² = 25  a = 5

b² = 9  b = 3

c = =  = 4

Từ đó ta có:

Tiêu điểm của (E): F₁(-4; 0) và F₂(4; 0)

Tiêu cự của (E):  F₁F₂ = 2.4 = 8

Tâm sai của (E): e =

Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A₁A₂ = 25 =10

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy:  B₁B₂ = 2.3 = 6

Bài 2: Cho elip có phương trình  = 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Xét phương trình elip : = 1, ta có:

a² = 100 a =10

b² = 64 b =8

c = =  =6

Từ đó ta có:

Tiêu điểm của (E): F₁(-6; 0) và F₂(6; 0)

Tiêu cự của (E):  F₁F₂ = 2.6 = 12

Tâm sai của (E): e =

Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A₁A₂ = 2.10 =20

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B₁B₂ = 2.8 = 16

Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Elip.

Phương pháp giải: 

Từ các thông tin đề bài cho, ta áp dụng các hệ thức: 

+ Hai tiêu điểm: (-c; 0) và (c; 0)

+ Bốn đỉnh: A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; -b) và B₂(0; b)

+ Độ dài trục lớn: A₁A₂ = 2a

+ Độ dài trục nhỏ: B₁B₂ = 2b

+ Tiêu cự: F₁F₂ = 2c

+ Tâm sai của (E): e =  < 1

+) b² = a² - c².

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip:  = 1.

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 10, độ dài trục nhỏ là 6. 

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; -b) và B₂(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: A₁A₂ =2a = 10  a = 5

Ta có độ dài trục nhỏ: B₁B₂ = 2b = 6  b = 3

Ta có phương trình chính tắc của elip: = 1 = 1.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 16 và tâm sai là 0,8 . Lập phương trình chính tắc của elip (E). 

Lời giải:

Gọi tiêu điểm của elip là: F₁(-c; 0) và F₂(c; 0) 

Ta có tiêu cự: F₁F₂ = 2c = 16  c = 8

Ta có tâm sai: e = = 0,8 = 0,8  a = 10

Có:  b² = a² - c² =  10²  - 8² = 36  b = 6

Từ đó ta có phương trình chính tắc của elip: 

= 1  = 1

Dạng 3: Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện. 

Phương pháp giải: 

- Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B:

+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E): = 1 (a > b > 0).

+ Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình (E) ta được hai phương trình ẩn  a² , b².

+ Giải hệ phương trình ta được a² , b²  Phương trình chính tắc của elip.

- Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện về tiêu cự ; độ dài trục lớn, trục nhỏ; tâm sai...

+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E) :  (a > b > 0).

+ Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình (E) ta được một phương trình ẩn a² , b²

+ Từ điều kiện của đề bài thiết lập một phương trình ẩn a² , b², với  a² - b² = c²

Kết hợp ba phương trình trên để tìm a² , b²  Phương trình chính tắc của elip ( E)

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) khi biết một tiêu điểm là F₁ (-; 0) và elip đi qua điểm A.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là:  (a > b > 0).

Một tiêu điểm là F₁ (-; 0) Tiêu điểm còn lại là F₂ (; 0)

Tiêu cự: F₁F₂ = 2c = 2 c =  

a² - b² = c² = 3 a² = 3 +  b²  (1)

Biết elip đi qua điểm A  ta có:

= 1 = 1 (2)

Thế (1) vào (2) ta có: 

 = 1

4b²  + 9  + 3b² = 4b²  (3 + b²) 

7b²  + 9  = 12b² + 4b² 

4b² + 5b² - 9 = 0

Loại b² = < 0

a² = 4

Phương trình chính tắc của elip là: + y² = 1.

Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết elip đi qua hai điểm N(0; 1) và M.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là:  = 1 (a > b > 0).

Biết elip đi qua điểm M ta có: = 1  = 1 (1)

Biết elip đi qua điểm N (0; 1) ta có: = 1 = 1 b²=1 (2)

Thế (2) vào (1) ta có: = 1 a²  = 4

 Phương trình chính tắc của elip là: + y² = 1

Dạng 4: Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip

Phương pháp giải:

+ Phương trình elip có dạng: = 1 và đường thẳng : y = mx + n

+ Ta xét phương trình:  = 1 (*). Ta có 3 trường hợp:

TH1: (*) có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).

TH2: (*) có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).

TH3: (*) vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho elip (E):  = 1 và đường thẳng d: 3x + 4y - 12 = 0. Có bao nhiêu giao điểm của đường thẳng d và elip (E)?

Lời giải:

Ta có d: 3x + 4y - 12 = 0 y = 3 - , thay vào phương trình (E):  = 1 ta được

= 1  = 1

2x²  - 8x = 0

Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0; 3), B(4; 0).

Bài 2: Cho elip (E): = 1 và đường thẳng d: x -y + 2 = 0. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là bao nhiêu?

Lời giải

Tọa độ giao điểm của elip và đường thẳng là nghiệm của hệ:

Có 2 nghiệm y nên có 2 nghiệm x   có 2 giao điểm

C. Bài tập tự luyện. 

Bài 1: Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip có phương trình: + y² = 1.

Đáp án: A₁A₂ = 14 ; B₁B₂ = 2; F₁F₂ = 8

Bài 2: Xác định tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình:  = 1.

Đáp án: F₁(-4 ;0), F₂(4;0), e = 

Bài 3: Xác định tiêu cự, tâm sai của elip có phương trình:  = 1.

Đáp án: F₁F₂ = 2, e = 

Bài 4: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 10 và độ dài trục nhỏ là 4. 

Lời giải:  = 1

Bài 5: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20 và có một tiêu điểm là F₂(3; 0). 

Đáp án:  = 1

Bài 6: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ là 12 và có một tiêu điểm là F₁(-2; 0). 

Đáp án:  = 1

Bài 7: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(3; 0) và có một tiêu điểm là F₁(-2; 0). 

Đáp án:  = 1

Bài 8: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(0; 5) và có độ dài tiêu cự là 6.  

Đáp án:  = 1

Bài 9: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng .

Đáp án:  = 1

Bài 10:  Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A(7; 0) và B(0; 3).

Đáp án:  = 1

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Các dạng bài tập về hàm số và cách giải
• Các dạng bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải
• Các dạng bài tập về hàm số bậc hai và cách giải
• Đại cương về phương trình và cách giải
• Phương trình quy về phương trình bậc hai và cách giải

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---