Phương trình đường elip và cách giải bài tập (hay, chi tiết)
Với loạt Phương trình đường elip và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.
- Lý thuyêt bài tập Phương trình đường elip
- Các dạng bài tập Phương trình đường elip
- Bài tập tự luyện Phương trình đường elip
Phương trình đường elip và cách giải bài tập
A. Lí thuyết tổng hợp.
- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2 . Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M = 2a.
- Các thành phần của Elip: Trong mặt phẳng Oxy
+ Hai tiêu điểm: (-c; 0) và (c; 0)
+ Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; -b) và B2(0; b)
+ Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a
+ Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b
+ Tiêu cự: F1F2 = 2c
- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 .Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M + F2M = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho F1(-c; 0) và F2(c; 0). Khi đó ta có:
M (x; y) (E) = 1 với b2 = a2 - c2
Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.
- Hình dạng của elip: Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ.
- Liên hệ giữa đường tròn và đường elip:
+ Từ hệ thức b2 = a2 - c2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn
+ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 = a2. Với mỗi điểm M (x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’; y’) sao cho: với (0 < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình:
= 1 là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).
B. Các dạng bài
Dạng 1: Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip.
Phương pháp giải:
Cho elip (E) có phương trình = 1
- Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A1A2 = 2a
- Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B1B2 = 2b
- Tiêu cự của (E): F1F2 = 2c = 2
- Tiêu điểm của (E): F1(-c; 0) và F2(c; 0) với c =
- Tâm sai của (E): e = < 1 với c =
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Xác định độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình: = 1.
Lời giải:
Xét phương trình elip (E) : = 1, ta có:
a2 = 25 a = 5
b2 = 9 b = 3
c = = = 4
Từ đó ta có:
Tiêu điểm của (E): F1(-4; 0) và F2(4; 0)
Tiêu cự của (E): F1F2 = 2.4 = 8
Tâm sai của (E): e =
Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A1A2 = 25 =10
Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B1B2 = 2.3 = 6
Bài 2: Cho elip có phương trình = 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.
Lời giải:
Xét phương trình elip : = 1, ta có:
a2 = 100 a =10
b2 = 64 b =8
c = = =6
Từ đó ta có:
Tiêu điểm của (E): F1(-6; 0) và F2(6; 0)
Tiêu cự của (E): F1F2 = 2.6 = 12
Tâm sai của (E): e =
Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A1A2 = 2.10 =20
Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B1B2 = 2.8 = 16
Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Elip.
Phương pháp giải:
Từ các thông tin đề bài cho, ta áp dụng các hệ thức:
+ Hai tiêu điểm: (-c; 0) và (c; 0)
+ Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; -b) và B2(0; b)
+ Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a
+ Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b
+ Tiêu cự: F1F2 = 2c
+ Tâm sai của (E): e = < 1
+) b2 = a2 - c2.
Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: = 1.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 10, độ dài trục nhỏ là 6.
Lời giải:
Gọi các đỉnh của elip là: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; -b) và B2(0; b)
Ta có độ dài trục lớn: A1A2 =2a = 10 a = 5
Ta có độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b = 6 b = 3
Ta có phương trình chính tắc của elip: = 1 = 1.
Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 16 và tâm sai là 0,8 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).
Lời giải:
Gọi tiêu điểm của elip là: F1(-c; 0) và F2(c; 0)
Ta có tiêu cự: F1F2 = 2c = 16 c = 8
Ta có tâm sai: e = = 0,8 = 0,8 a = 10
Có: b2 = a2 - c2 = 102 - 82 = 36 b = 6
Từ đó ta có phương trình chính tắc của elip:
= 1 = 1
Dạng 3: Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện.
Phương pháp giải:
- Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B:
+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E): = 1 (a > b > 0).
+ Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình (E) ta được hai phương trình ẩn a2 , b2.
+ Giải hệ phương trình ta được a2 , b2 Phương trình chính tắc của elip.
- Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện về tiêu cự ; độ dài trục lớn, trục nhỏ; tâm sai...
+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E) : (a > b > 0).
+ Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình (E) ta được một phương trình ẩn a2 , b2
+ Từ điều kiện của đề bài thiết lập một phương trình ẩn a2 , b2, với a2 - b2 = c2
Kết hợp ba phương trình trên để tìm a2 , b2 Phương trình chính tắc của elip ( E)
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) khi biết một tiêu điểm là F1 (-; 0) và elip đi qua điểm A.
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: (a > b > 0).
Một tiêu điểm là F1 (-; 0) Tiêu điểm còn lại là F2 (; 0)
Tiêu cự: F1F2 = 2c = 2 c =
a2 - b2 = c2 = 3 a2 = 3 + b2 (1)
Biết elip đi qua điểm A ta có:
= 1 = 1 (2)
Thế (1) vào (2) ta có:
= 1
4b2 + 9 + 3b2 = 4b2 (3 + b2)
7b2 + 9 = 12b2 + 4b2
4b2 + 5b2 - 9 = 0
Loại b2 = < 0
a2 = 4
Phương trình chính tắc của elip là: + y2 = 1.
Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết elip đi qua hai điểm N(0; 1) và M.
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: = 1 (a > b > 0).
Biết elip đi qua điểm M ta có: = 1 = 1 (1)
Biết elip đi qua điểm N (0; 1) ta có: = 1 = 1 b2=1 (2)
Thế (2) vào (1) ta có: = 1 a2 = 4
Phương trình chính tắc của elip là: + y2 = 1
Dạng 4: Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip
Phương pháp giải:
+ Phương trình elip có dạng: = 1 và đường thẳng : y = mx + n
+ Ta xét phương trình: = 1 (*). Ta có 3 trường hợp:
TH1: (*) có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).
TH2: (*) có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).
TH3: (*) vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho elip (E): = 1 và đường thẳng d: 3x + 4y - 12 = 0. Có bao nhiêu giao điểm của đường thẳng d và elip (E)?
Lời giải:
Ta có d: 3x + 4y - 12 = 0 y = 3 - , thay vào phương trình (E): = 1 ta được
= 1 = 1
2x2 - 8x = 0
Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0; 3), B(4; 0).
Bài 2: Cho elip (E): = 1 và đường thẳng d: x -y + 2 = 0. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là bao nhiêu?
Lời giải
Tọa độ giao điểm của elip và đường thẳng là nghiệm của hệ:
Có 2 nghiệm y nên có 2 nghiệm x có 2 giao điểm
C. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip có phương trình: + y2 = 1.
Đáp án: A1A2 = 14 ; B1B2 = 2; F1F2 = 8
Bài 2: Xác định tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình: = 1.
Đáp án: F1(-4 ;0), F2(4;0), e =
Bài 3: Xác định tiêu cự, tâm sai của elip có phương trình: = 1.
Đáp án: F1F2 = 2, e =
Bài 4: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 10 và độ dài trục nhỏ là 4.
Lời giải: = 1
Bài 5: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20 và có một tiêu điểm là F2(3; 0).
Đáp án: = 1
Bài 6: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ là 12 và có một tiêu điểm là F1(-2; 0).
Đáp án: = 1
Bài 7: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(3; 0) và có một tiêu điểm là F1(-2; 0).
Đáp án: = 1
Bài 8: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(0; 5) và có độ dài tiêu cự là 6.
Đáp án: = 1
Bài 9: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng .
Đáp án: = 1
Bài 10: Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A(7; 0) và B(0; 3).
Đáp án: = 1
Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:
- Các dạng bài tập về hàm số và cách giải
- Các dạng bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải
- Các dạng bài tập về hàm số bậc hai và cách giải
- Đại cương về phương trình và cách giải
- Phương trình quy về phương trình bậc hai và cách giải
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - KNTT
- Giải Toán lớp 10 - KNTT
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - KNTT
- Giải Vật lí lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - KNTT
- Giải Sinh học lớp 10 - KNTT
- Giải Địa lí lớp 10 - KNTT
- Giải Lịch sử lớp 10 - KNTT
- Giải Công nghệ lớp 10 - KNTT
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - KNTT
- Giải Tin học lớp 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CTST
- Giải Toán lớp 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CTST
- Giải Vật lí lớp 10 - CTST
- Giải Hóa học lớp 10 - CTST
- Giải Sinh học lớp 10 - CTST
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CTST
- Giải Địa lí lớp 10 - CTST
- Giải Lịch sử lớp 10 - CTST
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CD
- Giải Toán lớp 10 - CD
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CD
- Giải Vật lí lớp 10 - CD
- Giải Hóa học lớp 10 - CD
- Giải Sinh học lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CD
- Giải Địa lí lớp 10 - CD
- Giải Lịch sử lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - CD
- Giải Tin học lớp 10 - CD