Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ.

Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ (cách giải + bài tập)

Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ

1. Phương pháp giải

- Khi $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ thì tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ được kí hiệu là ${\overrightarrow{a}}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}$. Ta có: ${\overrightarrow{a}}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$.

- Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$: $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

- Có thể dựa vào các công thức quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, hằng đẳng thức đáng nhớ và công thức tích vô hướng của hai vectơ,...  để từ đó suy ra độ dài đoạn thẳng hoặc vectơ cần tính.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=4$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\iff 2=4.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos60°$

$\iff 2=4.\left|\overrightarrow{b}\right|.\frac{1}{2}\iff 2=2\left|\overrightarrow{b}\right|\iff \left|\overrightarrow{b}\right|=1$

Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$ là 1.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = a, $\widehat{A}=60°$. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$B{C}^2={\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^2$

$=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2$

Ta có:

$\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=\cos \widehat{A}=cos60°=\frac{1}{2}$

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a;\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=3a$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.3a.\frac{1}{2}=\frac{3}{2}{a}^2$

Do đó, ta có:

$B{C}^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2=a^2-2.\frac{3}{2}{a}^2+{\left(3a\right)}^2=7a^2$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$.

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{1}{4}$.

Bài 2. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}$ và $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{1}{4}$

Bài 3. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°, \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|=6$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ với $\left|\overrightarrow{a}\right|>3$.  

A. 7;

B. 6;

C. 5;

D. 4.

Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, $\widehat{A}=30°$. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

A. $a\sqrt{5-2\sqrt{3}}$;

B. $a\left(5-2\sqrt{3}\right)$;

C. 5a;

D. $2\sqrt{3}a$.

Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\widehat{A}=45°$. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

A. $\sqrt{13+6\sqrt{2}}$;

B. $\sqrt{13-6\sqrt{2}}$;

C. 13;

D. $6\sqrt{2}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = 2cm, BM = 1cm, $\widehat{CBM}=60°$ với M là trung điểm AC. Tính độ dài AC.

A. 3;

B. $3\sqrt{2}$;

C. 2;

D. $2\sqrt{3}$.

Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, $\widehat{A}=120°$. Tính độ dài trung tuyến AM dựa vào tích vô hướng.

A. $\frac{\sqrt{13}}{2}$;

B. $\sqrt{13}$;

C. 13;

D. 2.

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD có: AD = a, AB = 2a, $\widehat{BAD}=60°$. Tính độ dài AC.

A. $\frac{\sqrt{13}}{2}a$;

B. $\sqrt{13}a$;

C. 13a;

D. $a\sqrt{7}$.

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD có: BA = 3, BC = 2, $\widehat{CBA}=120°$. Tính độ dài BD.

A. $\frac{\sqrt{13}}{2}$;

B. $\sqrt{13}$;

C. 13;

D. $\sqrt{7}$.

Bài 10. Cho tam giác ABC có: AB = 4, AC = 5, $\widehat{BAC}=60°$. Điểm I thuộc cạnh BC sao cho BI = 2CI. Tính độ dài BI.

A. $\frac{2\sqrt{21}}{3}$;

B. $\frac{\sqrt{21}}{3}$;

C. 21;

D. $\frac{4\sqrt{21}}{3}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Chứng minh hai vectơ hay hai đường thẳng vuông góc

• Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng

• Tính công sinh bởi một lực thỏa mãn các điều kiện cho trước

• Tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và xác định độ chính xác của một số gần đúng

• Cách xác định số quy tròn của số gần đúng với độ chính xác cho trước

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---