Cách tính trung đoạn của hình chóp đều

Bài viết Cách tính trung đoạn của hình chóp đều với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính trung đoạn của hình chóp đều.

Cách tính trung đoạn của hình chóp đều

1. Phương pháp giải

– Bước 1: Xác định trung đoạn trên hình vẽ.

– Bước 2: Xác định độ lớn của các đoạn thẳng liên quan bằng các tính chất, liên hệ hình học.

– Bước 3: Sử dụng định lý Pythagore hoặc các công thức lượng giác để tìm độ lớn của trung đoạn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ lớn cạnh đáy là $4\sqrt{2}$ cm, cạnh bên là 5 cm. Tính độ dài trung đoạn của hình chóp trên.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

S.ABCD là chóp tứ giác đều nên mặt bên SBC là tam giác cân tại S.

Suy ra SM ^ BC nên SM là trung đoạn của hình chóp.

Ta có: OC = $\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 4 (cm).

Áp dụng định lý Pythagore trong ∆SOC, ta có:

SO = $\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{5^2-4^2}$ = 3 (cm).

OM = 0,5.CD = $2\sqrt{2}$ (cm).

Áp dụng định lý Pythagore trong ∆SOM, ta có:

SM = $\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{3^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{17}$ (cm)

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đường cao SO = 4 cm. Tam giác ABC có cạnh dài 2 cm. Tính trung đoạn của hình chóp.

Lời giải:

S.ABC là chóp tam giác đều nên O là trọng tâm của ∆ABC.

Gọi M = AO ∩ BC nên M là trung điểm của BC.

Khi đó SM ⊥ BC nên SM là trung đoạn của hình chóp.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABM, ta có:

AM = $\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ (cm)

Suy ra $OM=\frac{1}{3}AM=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (cm)

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SOM, ta có:

– $SM=\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{4^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ (cm).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có trung đoạn AM. Khẳng định nào sau đây là không đúng?

A. M là trung điểm của AB.

B. M là trung điểm của BC.

C. M là trung điểm của AD.

D. M là trung điểm của BD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Trung đoạn của hình chóp đều S.ABCD là đường cao kẻ từ đỉnh S của mỗi mặt bên.

Mà lại có các mặt bên của một hình chóp đều là tam giác cân nên M có thể là trung điểm của một trong 4 cạnh đáy hình chóp.

BD là đường chéo của đa giác đáy nên D là đáp án sai

Bài 2. Cho hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh có độ lớn là a. Độ lớn trung đoạn của hình chóp là

A. 2a.

B. 3a.

C. $a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

D. $a\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: SM = $\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}$ = $\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 3. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4cm, cạnh bên bằng $\sqrt{33}$cm. Độ dài trung đoạn của hình chóp là

A. 3 cm.

B. 5 cm.

C. $\sqrt{29}$ cm.

D. $5\sqrt{2}$ cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

+) SO = $\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{33-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}$ = 5 (cm).

+) SM = $\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$ (cm).

Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 10 cm, cạnh bên bằng 12 cm. Độ dài trung đoạn của hình chóp là

A. 10 cm.

B. $\sqrt{119}$ cm.

C. $5\sqrt{5}$ cm.

D. 12 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SBM:

SM = $\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{{12}^2-5^2}=\sqrt{119}$ (cm).

Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 6cm. Mặt bên tạo với đáy một góc 60°. Độ dài trung đoạn của hình chóp là

A. $6\sqrt{2}$ cm.

B. $6\sqrt{3}$ cm.

C. 12 cm.

D. 6 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta nhận thấy:

+) SM ⊥ BC, OM ⊥ BC.

+) SM ⊂ (SBC), OM ⊂ (ABCD).

+) (ABCD) ∩ (SBC) = BC.

Suy ra ((ABCD), (SBC)) = (SM, OM) = $\widehat{SMO}$ = 60°.

Ta có: SM = $\frac{OM}{\cos 60°}$ = 2.3 = 6 (cm).

Bài 6. Cho hình chóp đều S.ABCD, biết rằng độ dài các cạnh bên bằng 10cm và các cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Độ dài trung đoạn của hình chóp S.ABCD là

A. 10 cm

B. $\frac{5\sqrt{14}}{4}$ cm.

C. $\frac{5\sqrt{10}}{2}$ cm.

D. $\frac{5\sqrt{14}}{2}$ cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm của BC, ta dễ thấy SM là trung đoạn của hình chóp S.ABCD

Do SO ⊥ (ABCD) nên ta có: (SC, (ABCD)) = $\widehat{SCO}$ = 60°.

Suy ra OC = SC.cos60° = 5 cm nên MC = $\frac{OC}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ (cm).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SMC, ta có:

SM = $\sqrt{S{C}^2+M{C}^2}=\sqrt{{10}^2-{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2}$ = $\frac{5\sqrt{14}}{2}$.

Bài 7. Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau và đều bằng 5. Độ dài trung đoạn của hình chóp là

A. 10.

B. $5\frac{\sqrt{2}}{2}$.

C. $5\frac{\sqrt{3}}{2}$.

D. $\frac{5\sqrt{3}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm của BC.

Dễ thấy SM là trung đoạn của hình chóp S.ABC.

∆SBC đều, cạnh 5cm: SM = SB.sin60° = $5\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Cho biết cạnh bên của hình chóp có độ lớn là 5 cm, đáy là hình vuông có cạnh bằng 8cm. Độ dài trung đoạn của hình chóp là

A. 3 cm.

B. $3\sqrt{2}$ cm.

C. $2\sqrt{3}$ cm.

D. $3\sqrt{3}$ cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SMB, ta có:

SM = $\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{5^2-4^2}$ = 3 (cm).

Bài 9. Cho hình chóp đều S.ABC, biết rằng độ dài các cạnh bên bằng 7cm và các cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Độ dài trung đoạn của hình chóp S.ABC là

A. $\frac{7\sqrt{13}}{2}$ cm.

B. 8 cm.

C. 9 cm.

D. $\frac{7\sqrt{13}}{4}$ cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của BC, dễ thấy SM là trung đoạn của hình chóp.

Ta có: $\widehat{SBO}$ = 60°

Do đó SO = SB.sin60° = $7\frac{\sqrt{3}}{2}$cm, OB = SB.cos60° = $\frac{7}{2}$ (cm).

Suy ra: OM = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{7}{4}$ (cm).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SOM, ta có:

SM = $\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{{\left(7\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{7}{4}\right)}^2}=\frac{7\sqrt{13}}{4}$ (cm).

Bài 10. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 8cm. Mặt bên tạo với đáy một góc 45°. Độ dài trung đoạn của hình chóp là

A. $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ cm.

B. $\frac{4\sqrt{6}}{6}$ cm.

C. $\frac{4\sqrt{6}}{2}$ cm.

D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi M là trung điểm của BC, dễ thấy SM là trung đoạn của hình chóp.

Ta có: OM = $AB.\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ (cm).

Lại có: $\widehat{SMO}$ = 45° nên SM = $\frac{OM}{\cos 45°}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$ (cm).

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---