Đề thi học sinh giỏi Toán 10 Hội các Trường THPT Chuyên Vùng DH&ĐB Bắc Bộ năm 2023-2024

Bài viết cập nhật đề thi HSG Toán 10 Hội các Trường THPT Chuyên Vùng DH&ĐB Bắc Bộ năm 2023-2024 giúp học sinh lớp 10 ôn tập và đạt kết quả cao trong bài thi học sinh giỏi Toán 10.

Đề thi học sinh giỏi Toán 10 Hội các Trường THPT Chuyên Vùng DH&ĐB Bắc Bộ năm 2023-2024

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ đề thi HSG Toán 10 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Hội các Trường THPT Chuyên Vùng DH&ĐB Bắc Bộ ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XV, NĂM 2024 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16 tháng 7 năm 2024 (Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ thỏa mãn:

$f\left(xf\right(x)+f(y\left)\right)=f\left(f\right(x^2\left)\right)+y$ với mọi số thực x, y.

Câu 2 (4,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a và mọi số thực dương  ta có

$a^n+\frac{1}{a^n}-2\ge n^2\left(a+\frac{1}{a}-2\right).$

Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H ($D\in BC, E\in AC, F\in AB$). Gọi O₁ là điểm đối xứng với O qua BC. Đường thẳng AO₁ cắt cạnh BC tại L, các đường thẳng DE và HC cắt nhau tại M, các đường thẳng DF và HB cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:

      a) $MN\perp A{O}_1$.

      b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tiếp xúc với đường tròn đường kính AL.

Câu 4 (4,0 điểm). Cho dãy số ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ xác định bởi công thức truy hồi sau:

a₁ = 16, a_n+1 = 16 + $a_n^7$ với n = 1, 2, 3, ....

Chứng minh rằng:

      a) a_kn chia hết cho a_n với mọi số nguyên dương k, n.

      b) Với mọi số nguyên tố p, tồn tại các số nguyên dương N và T sao cho a_n = a_n+T (mod p) với mọi $n\ge N$.

      c) Tồn tại vô hạn số nguyên tố p thỏa mãn: Trong dãy (a_n) có vô hạn số hạng chia hết cho p. 

Câu 5 (4,0 điểm). An và Bình cùng chơi một trò chơi trên bảng ô vuông kích thước (2n + 1) x (2n + 1) và An là người đi trước. Ban đầu, tất cả các ô trên bảng đều có màu trắng. Ở mỗi lượt chơi, An tô một ô màu trắng thành màu xanh còn Bình tô một ô màu trắng thành màu đỏ. Trò chơi kết thúc khi hai bạn tô hết tất cả các ô trên bảng. An thắng nếu với hai ô màu xanh bất kì tồn tại ít nhất một chuỗi các ô xanh lân cận kết nối chúng với nhau (hai ô gọi là lân cận nếu chúng có chung ít nhất một đỉnh). Nếu không thì Bình là người thắng.

      a) Khi n = 1, xác định người chơi có chiến lược thắng.

      b) Khi n $\ge$ 2, chứng minh Bình có chiến lược thắng.

--------------------- HẾT ----------------------

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 hay khác:

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Chuyên Bảo Lộc (Lâm Đồng) năm 2023-2024

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Chu Văn An (Hà Nội) năm 2023-2024

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Chuyên Bắc Giang (Bắc Giang) năm 2023-2024

• Đề thi học sinh giỏi Toán 10 trường THPT Chuyên Biên Hoà (Hà Nam) năm 2023-2024

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---