Sách bài tập Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Sách bài tập Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 35 trang 11 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Em hãy chọn khẳng định đúng trong hai khẳng định sau đây:

a. Hai phương trình tương đương với nhau thì phải có cùng điều kiện xác định.

b. Hai phương trình có cùng điều kiện xác định có thể không tương đương với nhau.

Lời giải:

Phát biểu trong câu b là đúng.

Bài 36 trang 11 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Khi giải phương trình , bạn Hà làm như sau:

Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta có:

⇔ (2 – 3x)(2x + 1) = (3x + 2)(- 2x – 3)

⇔ -6x² + x + 2 = -6x² – 13x – 6

⇔ 14x = - 8

⇔ x = - 4/7

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4/7 .

Em hãy nhận xét về bài làm của bạn Hà.

Lời giải:

Đáp số của bài toán đúng nhưng lời giải của bạn Hà chưa đầy đủ.

Lời giải của bạn Hà thiếu bước tìm điều kiện xác định và bước đối chiếu giá trị của x tìm được với điều kiện để kết luận nghiệm.

Trong bài toán trên thì điều kiện xác định của phương trình là:

x ≠ - 3/2 và x ≠ - 1/2

So sánh với điều kiện xác định thì giá trị x = - 4/7 thỏa mãn.

Vậy x = - 4/7 là nghiệm của phương trình.

Bài 37 trang 11 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Các khẳng định sau đây đúng hay sai:

a. Phương trình có nghiệm x = 2.

b. Phương trình có tập nghiệm S = {-2; 1}

c. Phương trình có nghiệm x = - 1

d. Phương trình có tập nghiệm S = {0; 3}

Lời giải:

a. Đúng

Vì x² + 1 > 0 với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

4x – 8 + (4 – 2x) = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2

b. Đúng

Vì x² – x + 1 = (x - 1/2 )² + 3/4 > 0 với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(x + 2)(2x – 1) – x – 2 = 0 ⇔ (x + 2)(2x – 2) = 0

⇔ x + 2 = 0 hoặc 2x – 2 = 0 ⇔ x = - 2 hoặc x = 1

c. Sai

Vì điều kiện xác định của phương trình là x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 1

Do vậy phương trình không thể có nghiệm x = - 1

d. Sai

Vì điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 0

Do vậy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Bài 38 trang 12 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

⇔ 1 – x + 3(x + 1) = 2x + 3

⇔ 1 – x + 3x + 3 – 2x – 3 = 0

⇔ 0x = - 1

Phương trình vô nghiệm.

⇔ (x + 2)² – (2x – 3) = x² + 10

x² + 4x + 4 – 2x + 3 – x² – 10 = 0

⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3/2 (loại)

Phương trình vô nghiệm.

⇔ 5x – 2 + (2x – 1)(1 – x) = 2(1 – x) – 2(x² + x – 3)

⇔ 5x – 2 + 2x – 2x² – 1 + x – 2 + 2x + 2x² + 2x – 6 = 0

⇔ 12x - 11 = 0

⇔ x = 11/12 (thoả mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 11/12

⇔ (5 – 2x)(3x – 1) + 3(x + 1)(x – 1) = (x + 2)(1 – 3x)

⇔ 15x – 5 – 6x² + 2x + 3x² – 3 = x – 3x² + 2 – 6x

⇔ - 6x² + 3x² + 3x² + 15x + 2x – x + 6x = 2 + 5 + 3

⇔ 22x = 10 ⇔ x = 5/11 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 5/11 .

Bài 39 trang 12 sách bài tập Toán 8 Tập 2: a. Tìm x sao cho biểu thức bằng 2.

b. Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau:

c. Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau:

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ 2 hoặc x ≠ -2

⇔ 2x² - 3x – 2 = 2(x² – 4) ⇔ 2x² – 3x – 2 = 2x² – 8

⇔ 2x² – 2x² – 3x = - 8 + 2 ⇔ - 3x = - 6 ⇔ x = 2 (loại)

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

⇔ (6x – 1)(x – 3) = (2x + 5)(3x + 2)

⇔ 6x² – 18x – x + 3 = 6x² + 4x + 15x + 10

⇔ 6x² – 6x² – 18x – x – 4x – 15x = 10 – 3

⇔ - 38x = 7 ⇔ x = - 7/38 (thỏa mãn)

Vậy khi x = - 7/38 thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau.

⇔ (y + 5)(y – 3) – (y + 1)(y – 1) = - 8

⇔ y² – 3y + 5y – 15 – y² + 1 = - 8

⇔ 2y = 6 ⇔ y = 3 (loại)

Vậy không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 40 trang 12 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

⇔ (1 – 6x)(x + 2) + (9x + 4)(x – 2) = x(3x – 2) + 1

⇔ x + 2 – 6x² – 12x + 9x² – 18x + 4x – 8 = 3x² – 2x + 1

⇔ - 6x² + 9x² – 3x² + x – 12x – 18x + 4x + 2x = 1 – 2 + 8

⇔ - 23x = 7 ⇔ x = -7/23 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = -7/23

⇔ (x + 2)(3 – x) + x(x + 2) = 5x + 2(3 – x)

⇔ 3x – x² + 6 – 2x + x² + 2x = 5x + 6 – 2x

⇔ x² – x² + 3x – 2x + 2x – 5x + 2x = 6 – 6 ⇔ 0x = 0

Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ R / x ≠ 3 và x ≠ -2

⇔ 2(x² + x + 1) + (2x + 3)(x – 1) = (2x – 1)(2x + 1)

⇔ 2x² + 2x + 2 + 2x² – 2x + 3x – 3 = 4x² – 1

⇔ 2x² + 2x² – 4x² + 2x – 2x + 3x = -1 – 2 + 3

⇔ 3x = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

⇔ x³ – (x – 1)³ = (7x – 1)(x – 5) – x(4x + 3)

⇔ x³ – x³ + 3x² – 3x + 1 = 7x² – 35x – x + 5 – 4x² – 3x

⇔ 3x² – 7x² + 4x² – 3x + 35x + x + 3x = 5 – 1

⇔ 36x = 4 ⇔ x = 1/9 (thoả mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1/9

Bài 41 trang 13 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

⇔ (2x + 1)(x + 1) = 5(x – 1)(x – 1)

⇔ 2x² + 2x + x + 1 = 5x² – 10x + 5

⇔ 2x² – 5x² + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0

⇔ - 3x² + 13x – 4 = 0 ⇔ 3x² – x – 12x + 4 = 0

⇔ x(3x – 1) – 4(3x – 1) = 0 ⇔ (x – 4)(3x – 1) = 0

⇔ x – 4 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

       x – 4 = 0 ⇔ x = 4 (thỏa mãn)

      3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc x = 1/3

⇔ (x – 3)(x – 4) + (x – 2)(x – 2) = - (x – 2)(x – 4)

⇔ x² – 4x – 3x + 12 + x² – 2x – 2x + 4 = -x² + 4x + 2x – 8

⇔ 3x² – 17x + 24 = 0

⇔ 3x² – 9x – 8x + 24 = 0

⇔ 3x(x – 3) – 8(x – 3) = 0 ⇔ (3x – 8)(x – 3) = 0

⇔ 3x – 8 = 0 hoặc x – 3 = 0

      3x – 8 = 0 ⇔ x = 8/3 (thỏa mãn)

      x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 8/3 hoặc x = 3

⇔ x² + x + 1 + 2x² – 5 = 4(x – 1)

⇔ x² + x + 1 + 2x² – 5 = 4x – 4 ⇔ 3x² – 3x = 0 ⇔ 3x(x – 1) = 0

⇔ x = 0 (thỏa mãn) hoặc x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

⇔ 13(x + 3) + x² – 9 = 6(2x + 7)

⇔ 13x + 39 + x² – 9 = 12x + 42

⇔ x² + x – 12 = 0

⇔ x² – 3x + 4x – 12 = 0

⇔ x(x – 3) + 4(x – 3) = 0

⇔ (x + 4)(x – 3) = 0

⇔ x + 4 = 0 hoặc x – 3 = 0

      x + 4 = 0 ⇔ x = -4 (thỏa mãn)

      x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = -4.

Bài 42 trang 13 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho phương trình ẩn x:

a. Giải phương trình khi a = - 3

b. Giải phương trình khi a = 1

c. Giải phương trình khi a = 0

d. Tìm giá trị của a sao cho phương trình nhận x = 1/2 là nghiệm.

Lời giải:

a. Khi a = - 3, ta có phương trình:

⇔ (3 – x)(x – 3) + (x + 3)² = -24

⇔ 3x – 9 – x² + 3x + x² + 6x + 9 = -24 ⇔ 12x = - 24

⇔ x = -2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = -2

b. Khi a = 1, ta có phương trình:

⇔ (x + 1)² + (x – 1)(1 – x) = 4

⇔ x² + 2x + 1 + x – x² – 1 + x = 4

⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1 (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c. Khi a = 0, ta có phương trình:

Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ≠ 0

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ R / x ≠ 0.

d. Thay x = 1/2 vào phương trình, ta có:

ĐKXĐ:

⇔ (1 + 2a)(2a + 1) + (1 – 2a)(2a – 1) = 4a(3a + 1)

⇔ 2a + 1 + 4a² + 2a + 2a – 1 – 4a² + 2a = 12a² + 4a

⇔ 12a² – 4a = 0 ⇔ 4a(3a – 1) = 0 ⇔ 4a = 0 hoặc 3a – 1 = 0

⇔ a = 0 (thỏa mãn) hoặc a = 1/3 (thỏa mãn)

Vậy khi a = 0 hoặc a = 1/3 thì phương trình có nghiệm x = 1/2

Bài 5.1 trang 13 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình:

Lời giải:

a. Ta có:

ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 2; x ≠ 1/2; x ≠ 1; x ≠ -1; x ≠ 13.

Ta biến đổi phương trình đã cho thành

Khử mẫu và rút gọn:

(2x − 1)(3x − 1) = 6(x² − 1)

⇔−5x + 1 = −6 ⇔ x = 7/5

Giá trị x = 7/5 thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 7/5

b. Cách 1. ĐKXĐ: x≠ ± 1. Biến đổi vế trái thành

Ta đưa phương trình đã cho về dạng

Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

4(x + 1) = (x − 1)(x + 1)

⇔(x + 1)(x − 5) = 0

⇔x = −1 hoặc x = 5

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

Cách 2. Đặt ta có phương trình

ĐKXĐ của phương trình này là y ≠ 0 và y ≠ −1. Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

2y² − 2 = 1 + y

⇔2(y² − 1)−(y + 1) = 0

⇔(y + 1)(2y − 3) = 0

⇔y = −1 hoặc y = 3/2

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có y = 3/2 là thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình

Giải phương trình này ta được x = 5

c. ĐKXĐ: x∈{0;−1;−2;−3}. Ta biến đổi phương trình như sau:

Ta có:

(1) ⇔x = −5

Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {−5;−3/2}

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, chi tiết khác:

• Bài 6 - 7: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Ôn tập chương 3
• Bài 1: Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
• Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập sgk Toán 8
• Lý thuyết & 700 Bài tập Toán 8 (có đáp án)
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---