Giải SBT Toán 10 trang 44 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải SBT Toán 10 trang 44 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 3 trang 40, 41, 42, 43, 44 Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 44.

Giải SBT Toán 10 trang 44 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.41 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có c = 1, a = 2 và $\hat{B}=120°.$

a) Tính b, $\hat{A},\hat{C}.$

b) Tính diện tích của tam giác.

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ B của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

• b² = a² + c² – 2.a.c.cosB

$\Rightarrow$ b² = 2² + 1² – 2.2.1.cos120°

$\Rightarrow$ b² = 7

$\Rightarrow$ b = $\sqrt{7}.$

• a² = b² + c² – 2.b.c.cosA

$\Rightarrow$ cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7+1-4}{2.\sqrt{7}.1}=\frac{2}{\sqrt{7}}$

$\Rightarrow$$\hat{A}\approx 41°.$

• cosC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4+7-1}{\mathrm{2.2.}\sqrt{7}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$

$\Rightarrow$$\hat{C}\approx 19°.$

Vậy b = $\sqrt{7},\hat{A}\approx 41°$ và $\hat{C}\approx 19°.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}ac.\sin B=\frac{1}{2}\mathrm{.2.1.}\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Vậy diện tích của tam giác ABC bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

c) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}.h_b.b\Rightarrow h_b=\frac{2S}{b}=\frac{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$

Vậy độ dài đường cao kẻ từ B của tam giác bằng $\frac{\sqrt{21}}{7}.$

Bài 3.42 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 3, b = 5 và c = 7.

a) Tính các góc của tam giác, làm tròn đến độ.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

• a² = b² + c² – 2.b.c.cosA

$\Rightarrow$ cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+7^2-3^2}{\mathrm{2.5.7}}=\frac{13}{14}$

$\Rightarrow \hat{A}\approx 22°.$

• b² = a² + c² – 2.a.c.cosB

$\Rightarrow$ cosB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{3^2+7^2-5^2}{\mathrm{2.3.7}}=\frac{11}{14}$

$\Rightarrow \hat{B}\approx 38°.$

• c² = a² + b² – 2.a.b.cosC

$\Rightarrow$ cosC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{3^2+5^2-7^2}{\mathrm{2.3.5}}=\frac{-1}{2}$

$\Rightarrow \hat{C}=120°.$

Vậy $\hat{A}\approx 22°,\hat{B}\approx 38°$ và $\hat{C}=120°.$

b) Tam giác ABC có a = 3, b = 5 và c = 7 nên:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}$

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

• $S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}\mathrm{.3.5.}\sin 120°=\frac{15\sqrt{3}}{4}.$

• S = pr $\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{15\sqrt{3}}{4}}{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

• $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{3.5.7}}{4.\frac{15\sqrt{3}}{4}}=\frac{7}{\sqrt{3}}.$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC lần luợt bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\frac{7}{\sqrt{3}}.$

Bài 3.43 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{B}=45°,\hat{C}=15°$ và $b=\sqrt{2}.$ Tính a, h_a.

Lời giải:

Tam giác ABC có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$

$\Rightarrow \hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}=180°-45°-15°=120°$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \frac{a}{\sin 120°}=\frac{\sqrt{2}}{\sin 45°}$

$\Rightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{\sin 45°}.\sin 120°=\sqrt{3}.$

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}.\sqrt{3}.\sqrt{2}.\sin 15°=\frac{3-\sqrt{3}}{4}.$

• $S=\frac{1}{2}{h}_a.a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2.\frac{3-\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$

Vậy $a=\sqrt{3}$ và $h_a=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$

Bài 3.44 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có c = 5, a = 8 và $\hat{B}=60°.$

a) Tính b và số đo các góc A, C (số đo các góc làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ B.

c) Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

• b² = a² + c² – 2.a.c.cosB

$\Rightarrow$ b² = 8² + 5² – 2.8.5.cos60°

$\Rightarrow$ b² = 49

$\Rightarrow$ b = 7.

• a² = b² + c² – 2.b.c.cosA

$\Rightarrow$ cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+5^2-8^2}{\mathrm{2.7.5}}=\frac{1}{7}$

$\Rightarrow \hat{A}\approx 82°.$

• c² = a² + b² – 2.a.b.cosC

$\Rightarrow$ cosC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{8^2+7^2-5^2}{\mathrm{2.8.7}}=\frac{11}{14}.$

$\Rightarrow \hat{C}=38°.$

Vậy b = 7, $\hat{A}\approx 82°$ và $\hat{C}=38°.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\mathrm{.8.5.}\sin 60°=10\sqrt{3}.$

• $S=\frac{1}{2}{h}_b.b\Rightarrow h_b=\frac{2S}{b}=\frac{2.10\sqrt{3}}{7}=\frac{20\sqrt{3}}{7}.$

Vậy độ dài đường cao kẻ từ B của tam giác ABC bằng $\frac{20\sqrt{3}}{7}.$

c) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}=\frac{7^2+5^2}{2}-\frac{8^2}{4}=21$

$\Rightarrow m_a=\sqrt{21}.$

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC là $m_a=\sqrt{21}.$

Bài 3.45 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{B}=15°,\hat{C}=30°$ và c = 2.

a) Tính số đo góc A và độ dài các cạnh a, b.

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}$ (tức CD là phân giác của góc $\widehat{BCA}$). Tính độ dài CD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$

$\Rightarrow \hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}=180°-15°-30°=135°$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin 135°}=\frac{b}{\sin 15°}=\frac{2}{\sin 30°}=4$

$\Rightarrow$ a = 4.sin135° = $2\sqrt{2}$ và b = 4.sin15° = $\sqrt{6}-\sqrt{2}.$

Vậy $\hat{A}=135°,a=2\sqrt{2}$ và b = $\sqrt{6}-\sqrt{2}.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $S=\frac{1}{2}.ab.\sin C=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).\sin 30°=\sqrt{3}-1.$

• $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).2}{4.\left(\sqrt{3}-1\right)}=2.$

Vậy diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC lần lượt là $S=\sqrt{3}-1$ và R = 2.

c)

Vì CD là tia phân giác của $\widehat{BCA}$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}=\frac{1}{2}\widehat{BCA}=15°$

Mà $\hat{B}=15°$

Do đó tam giác BCD cân tại D.

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

$\Rightarrow$ IB = IC = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}$ và DI ⊥ BC.

Xét tam giác CDI vuông tại I ta có:

CD = $\frac{CI}{cos\widehat{ICD}}=\frac{\sqrt{2}}{cos15°}=2\left(\sqrt{3}-1\right).$

Vậy CD = $2\left(\sqrt{3}-1\right).$

Bài 3.45 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{B}=15°,\hat{C}=30°$ và c = 2.

a) Tính số đo góc A và độ dài các cạnh a, b.

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}$ (tức CD là phân giác của góc $\widehat{BCA}$). Tính độ dài CD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$

$\Rightarrow \hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}=180°-15°-30°=135°$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin 135°}=\frac{b}{\sin 15°}=\frac{2}{\sin 30°}=4$

$\Rightarrow$ a = 4.sin135° = $2\sqrt{2}$ và b = 4.sin15° = $\sqrt{6}-\sqrt{2}.$

Vậy $\hat{A}=135°,a=2\sqrt{2}$ và b = $\sqrt{6}-\sqrt{2}.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $S=\frac{1}{2}.ab.\sin C=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).\sin 30°=\sqrt{3}-1.$

• $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).2}{4.\left(\sqrt{3}-1\right)}=2.$

Vậy diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC lần lượt là $S=\sqrt{3}-1$ và R = 2.

c)

Vì CD là tia phân giác của $\widehat{BCA}$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}=\frac{1}{2}\widehat{BCA}=15°$

Mà $\hat{B}=15°$

Do đó tam giác BCD cân tại D.

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

$\Rightarrow$ IB = IC = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}$ và DI ⊥ BC.

Xét tam giác CDI vuông tại I ta có:

CD = $\frac{CI}{cos\widehat{ICD}}=\frac{\sqrt{2}}{cos15°}=2\left(\sqrt{3}-1\right).$

Vậy CD = $2\left(\sqrt{3}-1\right).$

Bài 3.47 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trên sườn đồi, với độ dốc 12% (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tang của góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương nằm ngang) có một cây cao mọc thẳng đứng. Ở phía chân đồi, cách gốc cây 30 m, người ta nhìn ngọn cây dưới một góc 45° so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của cây đó (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét).

Lời giải:

Giả sử người quan sát từ điểm A cách gốc cây B một khoảng 30m, nhìn ngọn cây C dưới góc 45° như hình vẽ dưới đây:

Do sườn đồi có độ dốc 12% (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tang của góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương nằm ngang) nên tan$\widehat{HAB}$ = 12% = 0,12.

$\Rightarrow$$\widehat{HAB}\approx 7°.$

Do đó $\widehat{BAC}=\widehat{HAC}-\widehat{HAB}=45°-7°=38°$ và $\widehat{BCA}=90°-\widehat{HAC}=45°.$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{BCA}}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB}{\sin \widehat{BCA}}.\sin \widehat{BAC}\approx \frac{30}{\sin 45°}.\sin 38°\approx 26\left(m\right)$

Vậy chiều cao của cây đó khoảng 26 m.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 3 trang 40, 41, 42, 43, 44 Kết nối tri thức hay khác:

• Giải SBT Toán 10 trang 40 Tập 1
• Giải SBT Toán 10 trang 41 Tập 1
• Giải SBT Toán 10 trang 42 Tập 1
• Giải SBT Toán 10 trang 43 Tập 1

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu

• SBT Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

• SBT Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

• SBT Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

• SBT Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---