Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a. Chứng minh C’D ⊥ (BCD’), BD’ ⊥ C’D và (BC’D) ⊥ (BCD’)
Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 8
Bài 59 trang 119 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a.
a) Chứng minh C’D ⊥ (BCD’), BD’ ⊥ C’D và (BC’D) ⊥ (BCD’);
b) Tính góc giữa hai đường thẳng BD và A’D’;
c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD’C’);
d) Tính số đo của góc nhị diện [B, DD’, C];
e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (BCD’);
g) Chứng minh B’C’ // (BCD’) và tính khoảng cách giữa đường thẳng B’C’ và mặt phẳng (BCD’);
h) Tính thể tích của khối tứ diện C’BCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BC’D).
Lời giải:
a) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có BC ⊥ (CDD’C’).
Mà C’D ⊂ (CDD’C’) nên BC ⊥ C’D.
Vì CDD’C’ là hình vuông nên C’D ⊥ CD’.
⦁ Ta có: C’D ⊥ BC, C’D ⊥ CD’, BC ∩ CD’ = C trong (BCD’)
Suy ra C’D ⊥ (BCD’).
⦁ Hơn nữa BD’ ⊂ (BCD’) nên C’D ⊥ BD’ hay BD’ ⊥ C’D.
⦁ Do C’D ⊥ (BCD’), C’D ⊂ (BC’D) nên (BC’D) ⊥ (BCD’).
b) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có AD // A’D’.
Nên góc giữa hai đường thẳng BD và A’D’ bằng góc giữa hai đường thẳng BD và AD và bằng
Do ABCD là hình vuông nên
Vậy góc giữa hai đường thẳng BD và A’D’ bằng 45°.
c) Do BC ⊥ (CDD’C’) nên góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD’C’) bằng góc giữa hai đường thẳng BD và CD và bằng
Do ABCD là hình vuông nên
Vậy góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD’C’) bằng 45°.
d) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có DD’ ⊥ (ABCD).
Mà BD ⊂ (ABCD) và CD ⊂ (ABCD) nên DD’ ⊥ BD và DD’ ⊥ CD.
Hơn nữa BD ∩ CD = D ∈ DD’.
Suy ra là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, DD’, C].
Theo câu c ta có
Vậy số đo góc nhị diện [B, DD’, C] bằng 45°.
e) Gọi O là giao điểm của C’D và CD’.
Theo câu a ta có: C’D ⊥ (BCD’) nên DO ⊥ (BCD’) (do O ∈ C’D).
Như vậy: d(D, (BCD’)) = DO.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác CC’D vuông tại C ta có:
Do CDD’C’ là hình vuông, O là giao điểm của C’D và CD’ nên
Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (BCD’) bằng
g) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có B’C’ // BC.
Mà BC ⊂ (BCD’), suy ra B’C’ // (BCD’).
Khi đó d(B’C’, (BCD’)) = d(C’, (BCD’)).
Theo câu a ta có C’D ⊥ (BCD’) nên C’O ⊥ (BCD’) (do O ∈ C’D).
Suy ra d(C’, (BCD’)) = C’O.
Do CDD’C’ là hình vuông, O là giao điểm của C’D và CD’ nên
Vậy
h) ⦁ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có CC’ ⊥ (ABCD) hay CC’ ⊥ (BCD).
Thể tích của khối tứ diện C’BCD có đường cao CC’ và đáy là tam giác BCD là:
⦁ Do BC’, C’D, BD lần lượt là đường chéo của các hình vuông BCC’B’, CDD’C’, ABCD cạnh a.
Nên ta có
Suy ra BC’D là tam giác đều cạnh
Trong tam giác BC’D đều cạnh a, kẻ đường cao BH (H ∈ C’D) (hình vẽ dưới đây).
Suy ra BH cũng là đường trung tuyến của tam giác BC’D hay H là trung điểm của C’D.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác BHD vuông tại H có:
BD2 = BH2 + HD2
Suy ra
Ta có diện tích tam giác BC’D là:
Xét khối tứ diện C’BCD có C là đỉnh, BC’D là đáy thì ta có công thức khác có thể tính thể tích của khối tứ diện C’BCD là:
Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BC’D) bằng
Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8 hay khác:
Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:
- Giải sgk Toán 11 Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
- Giải SBT Toán 11 Cánh diều
- Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
- Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
Săn SALE shopee Tết:
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
- Giải Tiếng Anh 11 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
- Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều