Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a. Chứng minh C’D ⊥ (BCD’), BD’ ⊥ C’D và (BC’D) ⊥ (BCD’)

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Bài 59 trang 119 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a.

Quảng cáo

a) Chứng minh C’D ⊥ (BCD’), BD’ ⊥ C’D và (BC’D) ⊥ (BCD’);

b) Tính góc giữa hai đường thẳng BD và A’D’;

c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD’C’);

d) Tính số đo của góc nhị diện [B, DD’, C];

e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (BCD’);

g) Chứng minh B’C’ // (BCD’) và tính khoảng cách giữa đường thẳng B’C’ và mặt phẳng (BCD’);

h) Tính thể tích của khối tứ diện C’BCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BC’D).

Lời giải:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a. Chứng minh C’D ⊥ (BCD’), BD’ ⊥ C’D và (BC’D) ⊥ (BCD’)

a) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có BC ⊥ (CDD’C’).

Mà C’D ⊂ (CDD’C’) nên BC ⊥ C’D.

Vì CDD’C’ là hình vuông nên C’D ⊥ CD’.

⦁ Ta có: C’D ⊥ BC, C’D ⊥ CD’, BC ∩ CD’ = C trong (BCD’)

Suy ra  C’D ⊥ (BCD’).

⦁ Hơn nữa BD’ ⊂ (BCD’) nên C’D ⊥ BD’ hay BD’ ⊥ C’D.

⦁ Do C’D ⊥ (BCD’), C’D ⊂ (BC’D) nên (BC’D) ⊥ (BCD’).

b) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có AD // A’D’.

Nên góc giữa hai đường thẳng BD và A’D’ bằng góc giữa hai đường thẳng BD và AD và bằng ADB^.

Do ABCD là hình vuông nên ADB^=45°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng BD và A’D’ bằng 45°.

c) Do BC ⊥ (CDD’C’) nên góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD’C’) bằng góc giữa hai đường thẳng BD và CD và bằng BDC^.

Do ABCD là hình vuông nên BDC^=45°.

Vậy góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD’C’) bằng 45°.

d) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có DD’ ⊥ (ABCD).

Mà BD ⊂ (ABCD) và CD ⊂ (ABCD) nên DD’ ⊥ BD và DD’ ⊥ CD.

Hơn nữa BD ∩ CD = D ∈ DD’.

Suy ra BDC^  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, DD’, C].

Theo câu c ta có BDC^=45°.

Vậy số đo góc nhị diện [B, DD’, C] bằng 45°.

e) Gọi O là giao điểm của C’D và CD’.

Theo câu a ta có: C’D ⊥ (BCD’) nên DO ⊥ (BCD’) (do O ∈ C’D).

Như vậy: d(D, (BCD’)) = DO.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác CC’D vuông tại C ta có: C'D=C'C2+CD2=a2+a2=a2.

Do CDD’C’ là hình vuông, O là giao điểm của C’D và CD’ nên OD=C'D2=a22.

Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (BCD’) bằng a22.

g) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có B’C’ // BC.

Mà BC ⊂ (BCD’), suy ra B’C’ // (BCD’).

Khi đó d(B’C’, (BCD’)) = d(C’, (BCD’)).

Theo câu a ta có C’D ⊥ (BCD’) nên C’O ⊥ (BCD’) (do O ∈ C’D).

Suy ra d(C’, (BCD’)) = C’O.

Do CDD’C’ là hình vuông, O là giao điểm của C’D và CD’ nên C'O=C'D2=a22.

Vậy dB'C',BCD'=C'O=a22.

h) ⦁ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có CC’ ⊥ (ABCD) hay CC’ ⊥ (BCD).

Thể tích của khối tứ diện C’BCD có đường cao CC’ và đáy là tam giác BCD là: VC'BCD=13SBCD.CC'=13.12BC.CD.CC'

⦁ Do BC’, C’D, BD lần lượt là đường chéo của các hình vuông BCC’B’, CDD’C’, ABCD cạnh a.

Nên ta có BC'=BD=C'D=a2.

Suy ra BC’D là tam giác đều cạnh a2. 

Trong tam giác BC’D đều cạnh a, kẻ đường cao BH (H ∈ C’D) (hình vẽ dưới đây).

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a. Chứng minh C’D ⊥ (BCD’), BD’ ⊥ C’D và (BC’D) ⊥ (BCD’)

Suy ra BH cũng là đường trung tuyến của tam giác BC’D hay H là trung điểm của C’D.

DH=C'D2=a22.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác BHD vuông tại H có:

BD2 = BH2 + HD2

Suy ra BH=BD2HD2=a22a222=a62.

Ta có diện tích tam giác BC’D là:

SBC'D=12BH.C'D=12.a62.a2=a232.

Xét khối tứ diện C’BCD có C là đỉnh, BC’D là đáy thì ta có công thức khác có thể  tính thể tích của khối tứ diện C’BCD là:

VC'BCD=13SBC'DdC,BC'D.

dC,BC'D=3VC'BCDSBC'D=3.a36a232=a33.

Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BC’D) bằng a33.

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Săn SALE shopee Tết:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác
Tài liệu giáo viên