Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = acăn2

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 40 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a $\sqrt{2}$ .

a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = acăn2

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $⊥$ (ABCD).

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì SO $⊥$ (ABCD) nên SO $⊥$ AC.

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO = $\sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Khi đó $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O$ $= \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

b) Có ABCD là hình vuông nên AD // BC suy ra AD // (SBC).

Khi đó d(AD, SB) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).

Đường thẳng AO cắt mặt phẳng (SBC) tại C và O là trung điểm của AC nên

d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)).

Kẻ OM $⊥$ BC tại M, OH $⊥$ SM tại H.

Vì BC $⊥$ OM, BC $⊥$ SO (do SO $⊥$ (ABCD)) nên BC $⊥$ (SOM), suy ra (SBC) $⊥$ (SOM).

Mà OH $⊥$ SM nên OH $⊥$ (SBC). Do đó d(O, (SBC)) = OH.

Có OM // AB (vì cùng vuông góc với BC).

Xét tam giác ABC có O là trung điểm của AC, OM // AB nên M là trung điểm của BC, suy ra OM là đường trung bình. Do đó OM = $\frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Vì SO $⊥$ (ABCD) nên SO $⊥$ OM hay tam giác SOM vuông tại O.

Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao có:

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O M^{2}}$ $= \frac{4}{6 a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{14}{3 a^{2}}$ $\Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{42}}{14}$ .