Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 43 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB' và CC'.

a) Tính theo a thể tích khối tứ diện AA'MN.

b) Tính côsin góc nhị diện [A, MN, A'].

Lời giải:

a) Ta có $V_{NA{A}^{\text{'}}M}=\frac{1}{3}$d(N,(AMA')).$S_{A{A}^{\text{'}}M}$.

Do CC' // AA' nên CC' // (AA'B'B) nên d(N, (AMA')) = d(C, (AA'B'B)).

Kẻ CH $\perp$ AB tại H.

Vì BB' $\perp$ (ABC) nên BB' $\perp$ CH mà CH $\perp$ AB nên CH $\perp$ (AA'B'B).

Do đó d(C, (AA'B'B)) = CH.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, CH là đường cao có CH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$,

suy ra d(C, (AA'B'B)) = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì ABB'A' là hình chữ nhật có d(M, AA') = AB = a.

Do đó $S_{A{A}^{\text{'}}M}=\frac{1}{2}$d(M,AA').AA' = $\frac{1}{2}$.a.2a = a².

Vậy $V_{NA{A}^{\text{'}}M}=\frac{1}{3}d\left(N,\left(AM{A}^{\text{'}}\right)\right)\cdot S_{A{A}^{\text{'}}M}$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

b) Gọi I là trung điểm của MN.

Vì M, N là trung điểm của BB' và CC' nên CN = C'N, BM = B'M.

Mà AA' = BB' = CC' = 2a nên CN = C'N = BM = B'M = a.

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên

AB = AC = BC = A'B' = A'C' = B'C' = a.

Xét tam giác CAN vuông tại C, có AN² = AC² + CN² = a² + a² = 2a².

Xét tam giác A'C'N vuông tại C', có A'N² = A'C'² + C'N² = a² + a² = 2a².

Xét tam giác A'B'M vuông tại B', có A'M² = A'B'² + B'M² = a² + a² = 2a².

Xét tam giác ABM vuông tại B, có AM² = AB² + BM² = a² + a² = 2a².

Do đó AN = A'N = A'M = AM.

Xét tam giác A'MN có A'M = A'N nên tam giác A'MN cân tại A' mà A'I là trung tuyến nên A'I đồng thời là đường cao hay A'I $\perp$ MN.

Xét tam giác AMN có AM = AN nên tam giác AMN cân tại A mà AI là trung tuyến nên AI đồng thời là đường cao hay AI $\perp$ MN.

Vì A'I $\perp$ MN và AI $\perp$ MN nên [A, MN, A'] = $\widehat{AI{A}^{\text{'}}}$.

Vì I là trung điểm của MN mà MN = BC = a nên MI = IN = $\frac{MN}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác A'MI vuông tại I, có $A^{\text{'}}I=\sqrt{A^{\text{'}}{M}^2-M{I}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Xét tam giác ANI vuông tại I, có $AI=\sqrt{A{N}^2-N{I}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác AA'I, ta có:

$cos\widehat{AI{A}^{\text{'}}}=\frac{A{I}^2+A^{\text{'}}{I}^2-A{A^{\text{'}}}^2}{2\cdot AI\cdot A^{\text{'}}I}$$=\frac{\frac{7a^2}{4}+\frac{7a^2}{4}-4a^2}{2\cdot \frac{7a^2}{4}}=-\frac{1}{7}$.

Vậy côsin góc nhị diện [A, MN, A'] bằng -$\frac{1}{7}$.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

• Bài 1 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Khẳng định nào sau đây là sai? ....

• Bài 2 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số y = cos$\frac{2x}{3}$ là hàm số tuần hoàn với chu kì ....

• Bài 3 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Nghiệm lớn nhất của phương trình lượng giác cos$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = sinx trong đoạn là ....

• Bài 4 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1; u₁₀ = −17. Số hạng thứ 100 của cấp số cộng này là ....

• Bài 5 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Cho cấp số nhân có số hạng thứ năm bằng 48 và số hạng thứ mười hai bằng −6 144 ....

• Bài 6 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Số thập phân vô hạn tuần hoàn x = 1,(2) = 1,2222… viết được dưới dạng phân số tối giản là ....

• Bài 7 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là ....

• Bài 8 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Giá trị của m để hàm số liên tục trên ℝ là ....

• Bài 9 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực ℝ là ....

• Bài 10 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x^2-x+1}\le {\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ là ....

• Bài 11 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Đạo hàm của hàm số $y={\sin }^{2}2x+e^{x^2-1}$ là ....

• Bài 12 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ – 3t² (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là ....

• Bài 13 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau về thời gian sử dụng mạng xã hội của một nhóm học sinh trong ngày ....

• Bài 14 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau về thời gian sử dụng mạng xã hội của một nhóm học sinh trong ngày ....

• Bài 15 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Trong tỉnh X, tỉ lệ học sinh học giỏi môn Ngữ văn là 9%, học giỏi môn Toán là 12% và học giỏi cả hai môn là 7% ....

• Bài 16 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Hộp 2 có 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ ....

• Bài 17 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Có bốn đồng xu I, II, III và IV. Xác suất xuất hiện mặt ngửa khi gieo đồng xu I và II là $\frac{1}{2}$ . Xác suất xuất hiện mặt ngửa khi gieo đồng xu III và IV là $\frac{2}{3}$ ....

• Bài 18 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng c. Gọi a là đường thẳng nằm trên (P) và vuông góc với đường thẳng c, b ....

• Bài 19 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng ....

• Bài 20 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD), tam giác SAB đều, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ....

• Bài 21 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA bằng a$\sqrt{2}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là ....

• Bài 22 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'B'C' là hình tứ diện đều cạnh bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng ....

• Bài 23 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = a, AA' = a$\sqrt{2}$ . Thể tích khối tứ diện ACB'D' bằng ....

• Bài 24 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng ....

• Bài 25 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Cho sinx = -$\frac{1}{3}$, x$\in$$\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ . Tính giá trị cos$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ ....

• Bài 26 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng: a) sin3x = 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x) ....

• Bài 27 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay không ....

• Bài 28 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Một công ty kĩ thuật đưa ra hai phương án về lương cho kĩ sư làm việc tại công ty như sau ....

• Bài 29 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Giả sử u_n là số hạng thứ n của dãy số (u_n) và $u_n=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^n-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^n}{2^n\sqrt{5}}$ ....

• Bài 30 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Tính các giới hạn sau: a) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2-x-10}{x+2}$; b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x+1}-x}{2x+1}$ ....

• Bài 31 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm m để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ ....

• Bài 32 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau: a) $3^{x^2-3x}=4^{4x}$ ....

• Bài 33 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Cho các hàm số f(x) = 3^{2x −1} và g(x) = xln9. Giải bất phương trình f'(x) < g'(x) ....

• Bài 34 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y=co{s}^{2}x+\sqrt{3x^2+x+1}$ ....

• Bài 35 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x³ – 3x² – 11x + 13 tại điểm M có hệ số góc là 1. Tìm tọa độ điểm M ....

• Bài 36 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Cho phương trình dao động x(t) = 10cos$\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$, ở đây li độ x tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây ....

• Bài 37 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Một công ty bất động sản đã thống kê số lượng khách hàng theo giá đất họ đầu tư và thu được kết quả như sau ....

• Bài 38 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Gieo hai con xúc xắc I và II cân đối, đồng chất một cách độc lập. Xét các biến cố A, B sau đây ....

• Bài 39 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a$\sqrt{2}$ ....

• Bài 40 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a$\sqrt{2}$ ....

• Bài 41 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác AB'C' cân tại A ....

• Bài 42 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a; AD = a$\sqrt{2}$, góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD) bằng 30° ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
• SBT Toán 11 Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
• SBT Toán 11 Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
• SBT Toán 11 Chương 9: Đạo hàm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---