Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 43 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB' và CC'.

a) Tính theo a thể tích khối tứ diện AA'MN.

b) Tính côsin góc nhị diện [A, MN, A'].

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a

a) Ta có VNAA'M=13d(N,(AMA')).SAA'M.

Do CC' // AA' nên CC' // (AA'B'B) nên d(N, (AMA')) = d(C, (AA'B'B)).

Kẻ CH AB tại H.

Vì BB' (ABC) nên BB' CH mà CH AB nên CH (AA'B'B).

Do đó d(C, (AA'B'B)) = CH.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, CH là đường cao có CH = a32,

suy ra d(C, (AA'B'B)) = a32.

Vì ABB'A' là hình chữ nhật có d(M, AA') = AB = a.

Do đó SAA'M=12d(M,AA').AA' = 12.a.2a = a2.

Vậy VNAA'M=13dN,(AMA')SAA'M=13a32a2=a336.

b) Gọi I là trung điểm của MN.

Vì M, N là trung điểm của BB' và CC' nên CN = C'N, BM = B'M.

Mà AA' = BB' = CC' = 2a nên CN = C'N = BM = B'M = a.

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên

AB = AC = BC = A'B' = A'C' = B'C' = a.

Xét tam giác CAN vuông tại C, có AN2 = AC2 + CN2 = a2 + a2 = 2a2.

Xét tam giác A'C'N vuông tại C', có A'N2 = A'C'2 + C'N2 = a2 + a2 = 2a2.

Xét tam giác A'B'M vuông tại B', có A'M2 = A'B'2 + B'M2 = a2 + a2 = 2a2.

Xét tam giác ABM vuông tại B, có AM2 = AB2 + BM2 = a2 + a2 = 2a2.

Do đó AN = A'N = A'M = AM.

Xét tam giác A'MN có A'M = A'N nên tam giác A'MN cân tại A' mà A'I là trung tuyến nên A'I đồng thời là đường cao hay A'I MN.

Xét tam giác AMN có AM = AN nên tam giác AMN cân tại A mà AI là trung tuyến nên AI đồng thời là đường cao hay AI MN.

Vì A'I MN và AI MN nên [A, MN, A'] = AIA'^.

Vì I là trung điểm của MN mà MN = BC = a nên MI = IN = MN2=a2.

Xét tam giác A'MI vuông tại I, có A'I=A'M2MI2=2a2a24=a72.

Xét tam giác ANI vuông tại I, có AI=AN2NI2=2a2a24=a72.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác AA'I, ta có:

cosAIA'^=AI2+A'I2AA'22AIA'I=7a24+7a244a227a24=17.

Vậy côsin góc nhị diện [A, MN, A'] bằng -17.

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Quảng cáo
Quảng cáo

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Săn SALE shopee Tết:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác
Tài liệu giáo viên