Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn góc ASB = góc BSC = góc CSA = 90 độ. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 17 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}=90°$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{S{B}^2}+\frac{1}{S{C}^2}.$

Lời giải:

Đặt SA = a, SB = b, SC = c (a, b, c > 0).

Theo đề, ta có: $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}=90°$ hay SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau nên có thể gắn hệ trục Oxyz thỏa mãn S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), b(0; b; 0), C(0; 0; c).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ hay $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$.

Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) là:

SH = $\frac{\left|\frac{0}{a}+\frac{0}{b}+\frac{0}{c}-1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{1}{b}\right)}^2+{\left(\frac{1}{c}\right)}^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}$ ⇒ $\frac{1}{SH}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}$.

Suy ra $\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ hay $\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{S{B}^2}+\frac{1}{S{C}^2}$ (đpcm).

Lời giải SBT Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay khác:

• Bài 1 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng? ....

• Bài 2 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): −x + 2y + 3 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? ....

• Bài 3 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): 3x – 6y + 12z – 13 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? ....

• Bài 4 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y – z + 5 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? ....

• Bài 5 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Mặt phẳng đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và vuông góc với Ox có phương trình là: ....

• Bài 6 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (Oxy) bằng: ....

• Bài 7 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P): ay + bz + c = 0 bằng: ....

• Bài 8 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): −3x + y – 2z + 5 = 0. ....

• Bài 9 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Cho điểm I(−3; 0; 1) và mặt phẳng (P): x − 3y – 4z + 1 = 0 ....

• Bài 10 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 11 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(5; 0; 0), B(0; 7; 0), C(0; 0; 9) ....

• Bài 12 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho ba điểm A(3; −4; 2), B(1; 2; 3), C(0; 1; 5). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC. ....

• Bài 13 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(4; −3; 7) và song song với mặt phẳng (Q): 3x – 2y + 4z + 7 = 0 ....

• Bài 14 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; −2; 4) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x – y – 2 = 0, (R): y + z + 3 = 0 ....

• Bài 15 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀; z₀). Tính khoảng cách từ M đến các mặt phẳng x – a = 0, y – b = 0, z – c = 0 ....

• Bài 16 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P₁): x + 2y – 3z + 5 = 0 và (P₂): −4x – 8y + 12z + 3 = 0 ....

• Bài 18 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) và D(1; 2; 3). Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng ....

• Bài 19 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2a, AD = 3a, AA' = 4a (a > 0) ....

• Bài 20 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ....

• Bài 21 trang 49 SBT Toán 12 Tập 2: Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• SBT Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• SBT Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

• SBT Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---