Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi. Đồ thị của hàm số y = 3x(2 – x), trục hoành với hai đường thẳng x = −1, x = 1

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 1 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số y = 3x(2 – x), trục hoành với hai đường thẳng x = −1, x = 1.

b) Đồ thị của hàm số $y=\frac{4-x}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

c) Đồ thị của hàm số y = x³ – x² , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Lời giải:

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|3x\left(2-x\right)\right|dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|6x-3x^2\right|dx$

Ta có: 3x(2 – x) = 0 khi x = 2 hoặc x = 0.

Phương trình chỉ có nghiệm x = 0 thuộc đoạn [−1; 1].

Do đó, $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|6x-3x^2\right|dx$

$=\left|\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(6x-3x^2\right)dx\right|+\left|\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(6x-3x^2\right)dx\right|$

$=\left|{\left.\left(3x^2-x^3\right)\right|}_{-1}^0\right|+\left|{\left.\left(3x^2-x^3\right)\right|}_0^1\right|$

= 4 + 2 = 6.

b) Ta có $y=\frac{4-x}{x}$ > 0 với mọi x ∈ [1; 2].

Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|\frac{4-x}{x}\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4-x}{x}\right)dx$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x}-1\right)dx={\left.\left(4\ln \left|x\right|-x\right)\right|}_1^2$

= 4ln2 – 1.

c) Ta có: x³ – x² = 0 ⇔ x²(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Với x ∈ [0; 1] thì y ≤ 0; với x ∈ [1; 2] thì y ≥ 0.

Do đó, diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^3-x^2\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-x^3\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-x^2\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}\right)\right|}_1^2$

$=\frac{1}{12}+\frac{17}{12}=\frac{3}{2}.$

Lời giải SBT Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân hay khác:

• Bài 2 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tính diện tích của hình phẳng được gạch chéo trong mỗi hình sau. ....

• Bài 3 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số ....

• Bài 4 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = x² – 2x có đồ thị (C). Kí hiệu A là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 ....

• Bài 5 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Kí hiệu S(a) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = $\frac{3}{x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = a ....

• Bài 6 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Một bình chứa nước dạng như Hình 13 có chiều cao là $\frac{3\pi }{2}$ dm. Nếu lượng nước trong bình có chiều cao là x ....

• Bài 7 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x³, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1 ....

• Bài 8 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x² và y = $\sqrt{x}$ (Hình 14) ....

• Bài 9 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Mặt cắt ngang của lòng máng dẫn nước là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 15 ....

• Bài 10 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 2 dm bằng mặt phẳng cách tâm ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• SBT Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

• SBT Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---