Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau trang 25 SBT Toán 12 Tập 1

Trang trước Trang sau

SBT Toán 12 Kết nối tri thức Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1.33 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{2} - 4 x + 8}{x - 2};$

b) $y = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{x + 1} .$

Quảng cáo

Lời giải:

a) $y = \frac{x^{2} - 4 x + 8}{x - 2}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = x – 2 + $\frac{4}{x - 2}$ .

Giới hạn tại vô cực:

$\lim_{x \to - \infty} y = - \infty;$ $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to 2^{+}} y = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 4 x + 8}{x - 2} = + \infty$ ; $\lim_{x \to 2^{-}} y = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4 x + 8}{x - 2} = - \infty$ .

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty} (y - (x - 2)) = \lim_{x \to + \infty} [x - 2 + \frac{4}{x - 2} - (x - 2)] = \lim_{x \to + \infty} \frac{4}{x - 2} = 0.$

Do đó, đường thẳng y = x – 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = $\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

y' = 0 ⇔ $\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau trang 25 SBT Toán 12 Tập 1

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (4; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2) và (2; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = −4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CT = 4.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm (2; 0).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau trang 25 SBT Toán 12 Tập 1

b) $y = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{x + 1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = 2x + 1 − $\frac{6}{x + 1}$ .

Giới hạn tại vô cực:

$\lim_{x \to - \infty} y = - \infty;$ $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to - 1^{+}} y = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{x + 1} = - \infty$ ; $\lim_{x \to - 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{x + 1} = + \infty$ .

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty} [y - (2 x + 1)] = \lim_{x \to + \infty} [2 x + 1 - \frac{6}{x + 1} - (2 x + 1)] = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 6}{x + 1} = 0.$