Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P

Giải sách bài tập Toán 8 Bài tập cuối chương 9 - Kết nối tri thức

Bài 9.67 trang 69 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:

a) ∆MNP ᔕ ∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.

b) ∆ABN ᔕ ∆CAM và ∆ACP ᔕ ∆BAM.

c) AN ⊥ CM và AP ⊥ BM.

Lời giải:

a) Tam giác CAH có P, M lần lượt là trung điểm của CH, AH nên MP là đường trung bình của tam giác ACH, suy ra $\frac{MP}{AC}=\frac{1}{2}$  .

Tam giác BAH có N, M lần lượt là trung điểm của BH, AH nên MN là đường trung bình của tam giác ABH, suy ra $\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$ .

Ta có $\frac{PN}{CB}=\frac{PH+HN}{CH+HB}=\frac{PH+HN}{2\left(PH+HN\right)}=\frac{1}{2}$  (do N, P lần lượt là trung điểm của HB, HC).

Tam giác MNP và tam giác ABC có:

$\frac{MP}{AC}=\frac{PN}{CB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$.

Nên ∆MNP ᔕ ∆ABC (c.c.c) với tỉ số đồng dạng bằng $\frac{1}{2}$ .

b)

Tam giác ABH vuông tại H và tam giác HAC vuông tại H có: $\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\left(=90°-\widehat{ACH}\right)$

Do đó, ∆HBA ᔕ ∆HAC (góc nhọn).

Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{AH}=\frac{2BN}{2MA}=\frac{BN}{MA}$ .

Tam giác ABN và tam giác CAM có:

 $\widehat{ABN}=\widehat{CAM}$ (cmt)

 $\frac{AB}{AC}=\frac{BN}{MA}$ (cmt)

Do đó, ∆ABN ᔕ ∆CAM (c.g.c).

Vì ∆HBA ᔕ ∆HAC (cmt). Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{CH}=\frac{2AM}{2CP}=\frac{AM}{CP}$ .

Xét tam giác ACP và tam giác BAM có:

$\widehat{ACP}=\widehat{MAB}\left(=90°-\widehat{CAH}\right)$ (cmt)

Do đó, ∆ACP ᔕ ∆BAM (c.g.c).

c)

+ Vì MN là đường trung bình trong tam giác AHB nên MN song song với AB.

Mà AB vuông góc với AC nên MN vuông góc với AC.

Trong tam giác CAN có MN vuông góc với AC nên MN là đường cao trong tam giác CAN, mà AH là đường cao trong tam giác CAN và M là giao điểm của MN và AH nên M là trực tâm của tam giác CAN. Vậy CM vuông góc với AN.

+ Vì MP là đường trung bình trong tam giác CAH nên MP song song với AC.

Mà AB vuông góc với AC nên MP vuông góc với AB.

Trong tam giác PAB có MP vuông góc với AB nên MP là đường cao trong tam giác PAB, mà AH là đường cao trong tam giác PAB và M là giao điểm của MP và AH nên M là trực tâm của tam giác PAB. Vậy AP vuông góc với BM.

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

• Câu 1 trang 68 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Câu nào sau đây là sai A Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ ...

• Câu 2 trang 68 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Bộ ba số đo nào dưới đây không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông ...

• Bài 9.61 trang 68 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP với góc A = 60 độ, góc B = 40 độ . Hãy tính số đo các góc còn lại của hai tam ...

• Bài 9.62 trang 68 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP với AB = 5 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm. Biết rằng tam giác MNP ...

• Bài 9.63 trang 68 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = căn 15 cm và AC = 2BC. Tìm độ dài hai cạnh ...

• Bài 9.64 trang 68 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB > AC. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho...

• Bài 9.65 trang 69 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), có AD là đường phân giác ...

• Bài 9.66 trang 69 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm ...

• Bài 9.68 trang 69 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm ...

• Bài 9.69 trang 69 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Vẽ lại Hình 9.18 vào vở và vẽ tứ giác A'B'C'D' là hình đồng dạng phối ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

• SBT Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng

• SBT Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều

• SBT Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 10

Săn SALE shopee tháng này:

• Unilever mua 1 tặng 1
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• La Roche-Posay mua là có quà:

---