Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P

Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-12 trên Shopee mall

Giải sách bài tập Toán 8 Bài tập cuối chương 9 - Kết nối tri thức

Bài 9.67 trang 69 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:

a) ∆MNP ᔕ ∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.

b) ∆ABN ᔕ ∆CAM và ∆ACP ᔕ ∆BAM.

c) AN ⊥ CM và AP ⊥ BM.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P

a) Tam giác CAH có P, M lần lượt là trung điểm của CH, AH nên MP là đường trung bình của tam giác ACH, suy ra $\frac{M P}{A C} = \frac{1}{2}$ .

Tam giác BAH có N, M lần lượt là trung điểm của BH, AH nên MN là đường trung bình của tam giác ABH, suy ra $\frac{M N}{A B} = \frac{1}{2}$ .

Ta có $\frac{P N}{C B} = \frac{P H + H N}{C H + H B} = \frac{P H + H N}{2 (P H + H N)} = \frac{1}{2}$ (do N, P lần lượt là trung điểm của HB, HC).

Tam giác MNP và tam giác ABC có:

$\frac{M P}{A C} = \frac{P N}{C B} = \frac{M N}{A B} = \frac{1}{2}$ .

Nên ∆MNP ᔕ ∆ABC (c.c.c) với tỉ số đồng dạng bằng $\frac{1}{2}$ .

Tam giác ABH vuông tại H và tam giác HAC vuông tại H có: $\hat{A B H} = \hat{C A H} (= 90 ° - \hat{A C H})$

Do đó, ∆HBA ᔕ ∆HAC (góc nhọn).

Suy ra $\frac{A B}{A C} = \frac{B H}{A H} = \frac{2 B N}{2 M A} = \frac{B N}{M A}$ .

Tam giác ABN và tam giác CAM có:

$\hat{A B N} = \hat{C A M}$ (cmt)

$\frac{A B}{A C} = \frac{B N}{M A}$ (cmt)

Do đó, ∆ABN ᔕ ∆CAM (c.g.c).

Vì ∆HBA ᔕ ∆HAC (cmt). Suy ra $\frac{A B}{A C} = \frac{A H}{C H} = \frac{2 A M}{2 C P} = \frac{A M}{C P}$ .

Xét tam giác ACP và tam giác BAM có:

$\hat{A C P} = \hat{M A B} (= 90 ° - \hat{C A H})$ (cmt)

Do đó, ∆ACP ᔕ ∆BAM (c.g.c).

+ Vì MN là đường trung bình trong tam giác AHB nên MN song song với AB.

Mà AB vuông góc với AC nên MN vuông góc với AC.

Trong tam giác CAN có MN vuông góc với AC nên MN là đường cao trong tam giác CAN, mà AH là đường cao trong tam giác CAN và M là giao điểm của MN và AH nên M là trực tâm của tam giác CAN. Vậy CM vuông góc với AN.

+ Vì MP là đường trung bình trong tam giác CAH nên MP song song với AC.

Mà AB vuông góc với AC nên MP vuông góc với AB.

Trong tam giác PAB có MP vuông góc với AB nên MP là đường cao trong tam giác PAB, mà AH là đường cao trong tam giác PAB và M là giao điểm của MP và AH nên M là trực tâm của tam giác PAB. Vậy AP vuông góc với BM.

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn SALE shopee tháng này:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.