Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E

Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-11 trên Shopee mall

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 8 - Cánh diều

Bài 28 trang 92 SBT Toán 9 Tập 2: Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:

a) F, E, K thẳng hàng;

b) K, N, M thẳng hàng.

Quảng cáo

Lời giải:

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E

a) ⦁ Gọi J là trung điểm của IC.

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại E nên IE ⊥ AC tại E. Do đó $\hat{I E C} = 90 °$ nên điểm E thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Vì CK ⊥ BI tại K nên $\hat{B K C} = 90 °$ hay $\hat{I K C} = 90 °$ nên điểm K thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Do đó bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Như vậy, tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.

Suy ra $\hat{K E C} = \hat{K I C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC). (3)

⦁ Vì đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI, CI là các đường phân giác của tam giác ABC.

Gọi P là giao điểm của AI và EF.

Do AI là tia phân giác của góc BAC nên $\hat{P A E} = \frac{1}{2} \hat{B A C} .$

Do BI là tia phân giác của góc ABC nên $\hat{I B C} = \frac{1}{2} \hat{A B C} .$

Do CI là tia phân giác của góc ACB nên $\hat{I C B} = \frac{1}{2} \hat{A C B} .$

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E hay AE, AF là hai tiếp tuyến của đường tròn (I), do đó IE = IF và AE = AF.

Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AI ⊥ EF tại P.

Xét ∆APE có $\hat{A P E} + \hat{P A E} + \hat{A E P} = 180 °$

Suy ra $\hat{A E P} = 180 ° - \hat{A P E} - \hat{P A E} = 180 ° - 90 ° - \frac{1}{2} \hat{B A C} = 90 ° - \frac{1}{2} \hat{B A C} .$

Do đó $\hat{A E F} = 90 ° - \frac{1}{2} \hat{B A C} .$ (1)

Xét ∆IBC có $\hat{K I C}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I nên

$\hat{K I C} = \hat{I B C} + \hat{I C B} = \frac{1}{2} \hat{A B C} + \frac{1}{2} \hat{A C B} = \frac{\hat{A B C} + \hat{A C B}}{2} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = 90 ° - \frac{1}{2} \hat{B A C} .$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\hat{A E F} = \hat{K I C} .$ (4)

Từ (3) và (4), suy ra $\hat{A E F} = \hat{K E C} .$

Mà $\hat{A E F} + \hat{C E F} = 180 °$ (hai góc kề bù) nên $\hat{K E C} + \hat{C E F} = 180 °$ hay $\hat{K E F} = 180 ° .$

Vậy ba điểm F, E, K thẳng hàng.

b) Xét ∆KBC vuông tại K có KM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên $K M = \frac{1}{2} B C .$

Mà M là trung điểm của BC nên $M B = M C = \frac{1}{2} B C .$

Do đó MB = MK nên ∆MKB cân ở M, suy ra $\hat{M B K} = \hat{M K B} .$

Xét ∆MKB có $\hat{K M C}$ là góc ngoài tại đỉnh M nên

$\hat{K M C} = \hat{M B K} + \hat{M K B} = 2 \hat{M B K} = 2 \cdot \frac{\hat{A B C}}{2} = \hat{A B C} .$

Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC, suy ra MN // AB, do đó $\hat{N M C} = \hat{A B C}$ $(h a i g ó c đ ồ n g v ị) .$

Suy ra $\hat{K M C} = \hat{N M C},$ vì vậy ba điểm K, N, M thẳng hàng.

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k10 (2025):

Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi vào 10 Toán Văn Anh của Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh... có lời giải

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.