Cho lục giác đều ABCDEF cạnh bằng a. Chứng minh sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 8 - Cánh diều

Bài 31 trang 93 SBT Toán 9 Tập 2: Cho lục giác đều ABCDEF cạnh bằng a.

a) Chứng minh sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. Tính theo a bán kính của đường tròn đó.

b) Chứng minh các tam giác ACE, BFD là các tam giác đều. Tính theo a bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng của các tam giác đó.

Lời giải:

a) ⦁ Vì ABCDEF là lục giác đều nên ba đường chéo chính AD, BE, CF bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, do đó OA = OB = OC = OD = OE = OF, nên sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính AD.

⦁ Vì ABCDEF là lục giác đều nên độ dài đường chéo chính AD gấp 2 lần độ dài cạnh, mà AD là đường kính của đường tròn đi qua sáu điểm A, B, C, D, E, F nên bán kính của đường tròn đi qua sáu điểm A, B, C, D, E, F bằng độ dài cạnh của lục giác đều và bằng a.

b) ⦁ Vì ABCDEF là lục giác đều nên các góc ở các đỉnh của lục giác đều bằng nhau, suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDE}=\widehat{DEF}=\widehat{EAF}=\widehat{AFB}.$

Vì ABCDEF là lục giác đều nên các cạnh bằng nhau, suy ra AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Xét ∆ABC và ∆CDE có:

AB = CD, $\widehat{ABC}=\widehat{CDE},$ BC = DE.

Do đó ∆ABC = ∆CDE (c.g.c)

Suy ra AC = CE (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có kết quả AC = CE = AE = BD = DF = BF.

Do AC = CE = AE nên ∆ACE là tam giác đều.

Do BF = BD = DF nên ∆BFD là tam giác đều.

⦁ Gọi H là giao điểm của AC và OB.

Ta có OA = OB = AB = a nên ∆OAB là tam giác đều, do đó $\widehat{ABO}=60°$ hay $\widehat{ABH}=60°.$

Xét tứ giác OABC có OA = OC = AB = BC nên OABC là hình thoi, do đó hai đường chéo AC và OB vuông góc với nhau tại trung điểm H của mỗi đường.

Từ đó ta có AC = 2AH.

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

$AH=AB\cdot \sin \widehat{ABH}=a\cdot \sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra $AC=2AH=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$

Vì ∆ACE là tam giác đều nên bán kính đường tròn nội tiếp của ∆ACE là $\frac{AC\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{a}{2}.$

Vì AC = CE = AE = BF = FD = BD nên ta có ∆ACE = ∆BFD (c.c.c).

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng của ∆ACE và ∆BFD bằng nhau, và bằng $\frac{a}{2}.$

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

• Bài 23 trang 92 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai tia AB, DC cắt nhau tại M ....

• Bài 24 trang 92 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C cắt cạnh CD ở P ....

• Bài 25 trang 92 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 và $\widehat{BAC}=30°.$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ....

• Bài 26 trang 92 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{C}+\widehat{D}=90°.$ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA ....

• Bài 27 trang 92 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 2,4 cm và ....

• Bài 28 trang 92 SBT Toán 9 Tập 2: Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E ....

• Bài 29 trang 93 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh ....

• Bài 30 trang 93 SBT Toán 9 Tập 2: Quan sát Hình 16 ....

• Bài 32 trang 93 SBT Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến ....

• Bài 33* trang 93 SBT Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn

• SBT Toán 9 Bài 2: Phép quay

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9

• SBT Toán 9 Bài 1: Hình trụ

• SBT Toán 9 Bài 2: Hình nón

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Cánh diều
• Giải SBT Toán 9 Cánh diều
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---