Giải Toán 10 trang 101 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-11 trên Shopee mall

Với Giải Toán 10 trang 101 Tập 1 trong Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 101.

Giải Toán 10 trang 101 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2}; {(\vec{i} - \vec{j})}^{2}; (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j})$ .

b) Cho $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Tính tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Quảng cáo

Lời giải:

Hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc nên $(\vec{i}, \vec{j}) = 90 °$ .

Ta có: $\vec{i} . \vec{j} = |\vec{i}| . |\vec{j}| . c o s (\vec{i}, \vec{j}) = 1.1. c o s 90 ° = 0$ .

a) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2} = {|\vec{i}|}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} + {|\vec{j}|}^{2}$ = 1² + 2 . 0 + 1² = 2.

${(\vec{i} - \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2} = {|\vec{i}|}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + {|\vec{j}|}^{2}$ = 1² – 2 . 0 + 1² = 2.

$(\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = {\vec{i}}^{2} - {\vec{j}}^{2} = {|\vec{i}|}^{2} - {|\vec{j}|}^{2} = 1^{2} - 1^{2} = 0$

b) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (2 \vec{i} + 2 \vec{j}) . (3 \vec{i} - 3 \vec{j}) = 2 (\vec{i} + \vec{j}) .3 (\vec{i} - \vec{j}) = 6. (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = 6.0 = 0$ .

Do đó $\vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

Vậy $(\vec{a}, \vec{b}) = 90 °$ .

Vận dụng 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Phân tử sulfur dioxide (SO₂) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\hat{O S O}$ gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\vec{μ_{1}}$ và $\vec{μ_{2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của $\vec{μ}$ .

Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết OSO gần bằng 120 độ

Lời giải:

Theo bài ra ta có: $|\vec{μ_{1}}| = |\vec{μ_{2}}| = 1, 6; (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}}) = \hat{O S O} = 120 °$ .

Do đó: $\vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} = |\vec{μ_{1}}| . |\vec{μ_{2}}| . c o s (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}})$ = 1,6 . 1,6 . cos120° = – 1,28.

Vì $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ nên để tính độ dài của $\vec{μ}$ , ta tính độ dài của vectơ tổng $\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ .

Ta có: ${(\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}})}^{2} = {\vec{μ_{1}}}^{2} + 2 \vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} + {\vec{μ_{2}}}^{2} = {|\vec{μ_{1}}|}^{2} + 2 \vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} + {|\vec{μ_{2}}|}^{2}$

= 1,6² + 2 . (– 1,28) + 1,6² = 2,56

Suy ra ${|\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}|}^{2} = {(\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}})}^{2} = 2, 56 \Rightarrow |\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}| = 1, 6$ .

Vậy $|\vec{μ}| = |\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}| = 1, 6$ .

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{C B}, \vec{A C} . \vec{B D}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: vectơ AB . vectơAD, vectơ AB . vectơAC

Vì ABCD là hình vuông nên $\hat{B A D} = 90 °, \hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B A D} = 45 °$ , $\hat{A C B} = 45 °$ , hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

AC = BD = $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

+) $\vec{A B} . \vec{A D} = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A D}) = A B . A D . \cos \hat{B A D}$ = a . a . cos90° = 0.

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = A B . A C . c o s \hat{B A C} = a . a \sqrt{2} . c o s 45 ° = a^{2}$ .

+) $\vec{A C} . \vec{C B} = (- \vec{C A}) . \vec{C B} = - (\vec{C A} . \vec{C B}) = - (|\vec{C A}| . |\vec{C B}| . c o s (\vec{C A}, \vec{C B}))$

$= - (C A . C B . \cos \hat{A C B}) = - (a \sqrt{2} . a . c o s 45 °) = - a^{2}$

+) Do AC và BD vuông góc với nhau nên $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ , do đó: $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$ .

Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A O}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{A D}$ .

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính vectơ AB . vectơ AC

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = a, CD = AB = 2a, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:

AC² = AB² + BC² = (2a)² + a² = 5a² $\Rightarrow A C = a \sqrt{5}$ .

Do đó: $B D = A C = a \sqrt{5}$ .

Suy ra: $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} . a \sqrt{5} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Ta có: $co s \hat{B A O} = co s \hat{B A C} = \frac{A B}{A C} = \frac{2 a}{a \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

a) $\vec{A B} . \vec{A O} = |\vec{A B}| . |\vec{A O}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A O}) = A B . A O . \cos \hat{B A O} = 2 a . \frac{a \sqrt{5}}{2} . \frac{2}{\sqrt{5}} = 2 a^{2}$

b) $\vec{A B} . \vec{A D} = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A D}) = A B . A D . c o s \hat{B A D}$ = 2a . a . cos90° = 0.

Bài 3 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Lời giải:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng vectơ OA . vectơ OB trong hai trường hợp

Khi đó hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ cùng hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 0 °$ .

Do đó: $\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . c o s (\vec{O A}, \vec{O B})$ $= a . b . c o s 0 ° = a b$ .

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng vectơ OA . vectơ OB trong hai trường hợp

Khi đó hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$ .

Do đó: $\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . c o s (\vec{O A}, \vec{O B}) = a . b . c o s 180 ° = - a b$ .

Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $\vec{M A} . \vec{M B} = M O^{2} - O A^{2}$ .

Lời giải:

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: vectơ MA. vectơ MB = MO^2 - OA^2

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$ .

Do hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$ .

Do đó: $\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . c o s (\vec{O A}, \vec{O B})$

$= O A . O B . c o s 180 ° = - O A . O A = - O A^{2}$

Với điểm M tùy ý ta có: $\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{M O} + \vec{O A}) . (\vec{M O} + \vec{O B})$

$\begin{array}{l} = {\vec{M O}}^{2} + \vec{M O} . \vec{O B} + \vec{O A} . \vec{M O} + \vec{O A} . \vec{O B} \\ = {|\vec{M O}|}^{2} + (\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{M O} + \vec{O A} . \vec{O B} \\ = M O^{2} + \vec{0} . \vec{M O} + (- O A^{2}) = M O^{2} - O A^{2} \end{array}$

Vậy $\vec{M A} . \vec{M B} = M O^{2} - O A^{2}$ .

Bài 5 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\vec{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Lời giải:

Lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N.

Quãng đường dịch chuyển của vật là 100 m.

Góc tạo bởi lực $\vec{F}$ với hướng dịch chuyển là 60°.

Vây công sinh bởi lực $\vec{F}$ là:

A = 90 . 100 . cos60° = 4500 (J).

Bài 6 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Giả sử hai vectơ đề bài cho là $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Theo bài ra ta có: $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4, \vec{a} . \vec{b} = - 6$ .

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b})$

Suy ra: $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 6}{3.4} = \frac{- 1}{2}$ .

Vậy $(\vec{a}, \vec{b}) = 120 °$ .

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.