Giải Toán 11 trang 50 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 11 trang 50 Tập 1 trong Bài 1: Dãy số Toán 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 50.

Giải Toán 11 trang 50 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Quảng cáo

Bài 1 trang 50 Toán 11 Tập 1: Tìm u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n dãy số: Bài 1 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Ta có: n = 2 ≥ 1 nên $u_{2} = \frac{u_{1}}{1 + u_{1}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ .

n = 3 ≥ 1 nên $u_{3} = \frac{u_{2}}{1 + u_{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$ .

n = 4 ≥ 1 nên $u_{4} = \frac{u_{3}}{1 + u_{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$ .

n = 5 ≥ 1 nên $u_{5} = \frac{u_{4}}{1 + u_{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{5}$ .

Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số là: $u_{n} = \frac{1}{n}, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$ . Tìm u₁, u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n.

Quảng cáo

Lời giải:

Ta có:

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Dự đoán công thức tổng quát:

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Quảng cáo

Bài 3 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (y_n) với $y_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ .

Lời giải:

Ta có: $y_{n + 1} = \sqrt{(n + 1) + 1} - \sqrt{n + 1} = \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}$ .

Xét hiệu $y_{n + 1} - y_{n} = \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1} - \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} = \sqrt{n + 2} + \sqrt{n} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra y_n+1 > y_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (y_n) tăng.

Bài 4 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với $a_{n} = \sin^{2} \frac{n π}{3} + co s \frac{n π}{4}$ ;

b) (u_n) với $u_{n} = \frac{6 n - 4}{n + 2}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

a) Vì $0 \leq \sin^{2} \frac{n π}{3} \leq 1, \forall n \in ℕ^{*}$ và $- 1 \leq \cos \frac{n π}{4} \leq 1, \forall n \in ℕ^{*}$ nên $- 1 \leq \sin^{2} \frac{n π}{3} + co s \frac{n π}{4} \leq 2, \forall n \in ℕ^{*}$

Do đó $- 1 \leq a_{n} \leq 2, \forall n \in ℕ^{*}$

Suy ra dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có: $u_{n} = \frac{6 n - 4}{n + 2} = 6 - \frac{16}{n + 2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 2 ≥ 3

$\Rightarrow - \frac{16}{n + 2} \geq - \frac{16}{3}$

$\Rightarrow 6 - \frac{16}{n + 2} \geq 6 - \frac{16}{3}$

$\Rightarrow u_{n} \geq \frac{2}{3}$ .

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{16}{n + 2} > 0$ khi đó u_n < 6.

Suy ra $\frac{2}{3} \leq u_{n} < 6$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ . Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1} = 2 - \frac{3}{n + 1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2

$\Rightarrow - \frac{3}{n + 1} \geq - \frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2 - \frac{3}{n + 1} \geq 2 - \frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_{n} \geq \frac{1}{2}$

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{3}{n + 1} > 0$ khi đó u_n < 2.

Suy ra $\frac{1}{3} \leq u_{n} < 2$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 1}{n + 1 + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$

Xét hiệu:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{2 n^{2} + 3 n + 1 - 2 n^{2} - 3 n + 2}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra u_n+1 > u_n nên dãy số (u_n) tăng.

Vậy dãy số (u_n) tăng và bị chặn.

Bài 6 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n a + 2}{n + 1}$ . Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

b) (u_n) là dãy số giảm.

Lời giải:

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) a + 2}{n + 1 + 1} = \frac{(n + 1) a + 2}{n + 2}$

Xét hiệu:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{(n + 1) a + 2}{n + 2} - \frac{n a + 2}{n + 1} = \frac{((n + 1) a + 2) (n + 1)}{(n + 2) (n + 1)} - \frac{(n a + 2) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{(n^{2} + 2 n + 1) a + 2 n + 2}{(n + 2) (n + 1)} - \frac{(n^{2} + 2 n) a + 2 n + 4}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{a - 2}{(n + 1) (n + 2)}$

Vì n ∈ ℕ^* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 – u_n > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

b) Để (u_n) là dãy số giảm thì u_n+1 – u_n < 0 nên a – 2 < 0 ⇔ a < 2.

Bài 7 trang 50 Toán 11 Tập 1: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Bài 7 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11